What is the rephrased version of the equation Sin(2x+2pi/3)cos(4x+pi/3)-cos2x=sin^2(x)/cos(-pi/3

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. Начнем с исходного уравнения:

\(\sin(2x + \frac{2\pi}{3}) \cos(4x + \frac{\pi}{3}) - \cos(2x) = \frac{\sin^2(x)}{\cos(-\frac{\pi}{3})}\)

Сначала упростим выражение в левой части уравнения. Мы заметим, что у нас есть произведение двух тригонометрических функций:

\(\sin(2x + \frac{2\pi}{3}) \cos(4x + \frac{\pi}{3})\)

Учитывая формулу произведения для синуса, мы можем переписать это как:

\(\frac{\sin(6x + \frac{6\pi}{3})}{2} = \frac{\sin(2x + 2\pi)}{2} = \frac{\sin(2x)}{2}\)

Подставим это обратно в исходное уравнение:

\(\frac{\sin(2x)}{2} - \cos(2x) = \frac{\sin^2(x)}{\cos(-\frac{\pi}{3})}\)

Давайте упростим выражение справа. Вспомним, что угол синуса повторяется каждые 2π, поэтому:

\(\frac{\sin(2x)}{2} - \cos(2x) = \frac{\sin^2(x)}{\cos(\frac{5\pi}{3})}\)

Теперь мы имеем одинаковую базу для синуса и косинуса, а именно 2x. Мы могли бы использовать тригонометрические тождества для переписывания косинуса, но давайте вместо этого воспользуемся тождеством \(1 - \sin^2(x) = \cos^2(x)\), чтобы устранить квадрат синуса:

\(\frac{\sin(2x)}{2} - \cos(2x) = 1 - \cos^2(x)\)

Теперь мы можем объединить члены на одну сторону уравнения:

\(\cos^2(x) + \cos(2x) - \frac{\sin(2x)}{2} - 1 = 0\)

На этом этапе вы можете заметить, что у нас есть квадратный член \(\cos^2(x)\), линейный член \(\cos(2x)\) и линейный член \(-\frac{\sin(2x)}{2}\). Однако, чтобы переписать это уравнение в факторизованной форме, нам нужно выбрать замену. Давайте предположим, что \(\cos(x) = t\), тогда \(\cos^2(x) = t^2\). Заменим в нашем уравнении:

\(t^2 + 2t - \frac{2\sin(2x)}{2} - 1 = 0\)

Упростим:

\(t^2 + 2t - \sin(2x) - 1 = 0\)

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно переменной \(t\). Мы можем решить его, используя квадратное уравнение \(at^2 + bt + c = 0\), где

\(a = 1\),
\(b = 2\),
\(c = -\sin(2x) - 1\).

Применяя формулу дискриминанта, мы получим:

\(D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(1)(-\sin(2x) - 1) = 4 + 4\sin(2x) + 4 = 8 + 4\sin(2x)\)

Если дискриминант D больше нуля, мы будем иметь два различных корня. Если D равен нулю, у нас будет только один корень. Если D меньше нуля, у нас не будет действительных корней.

Выберем теперь случай, когда D больше нуля:

\(D = 8 + 4\sin(2x) > 0\)

Исследуя неравенство, мы можем заключить, что \(\sin(2x) > -2\). Это неравенство выполняется для всех значений \(\sin(2x)\), так как синус не может быть меньше -1.

Итак, в итоге, у нас есть решение для вопроса:

Rephrased version of the equation "Sin(2x+2pi/3)cos(4x+pi/3)-cos2x=sin^2(x)/cos(-pi/3)" is:

\(\cos^2(x) + 2\cos(x) - \sin(2x) - 1 = 0\)

Надеюсь, объяснение было ясным и понятным! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.