What is the remainder when a number is divided by 2^n?

Процесс деления одного числа на другое позволяет нам найти частное и остаток. В данной задаче мы рассматриваем деление числа на \(2^n\), где \(n\) - любое неотрицательное целое число.

Чтобы понять, как найти остаток от деления числа на \(2^n\), нужно разобраться в двоичной системе счисления. В двоичной системе числа представляются с помощью двух цифр: 0 и 1. Когда мы делим число на \(2^n\), остаток может быть только 0 или 1.

Давайте посмотрим на примеры деления числа на 2, 4 и 8:

1. Деление на \(2^1\):
- Число 6, когда мы делим его на \(2^1\), имеет остаток 0, потому что 6 делится на 2 без остатка.
- Число 7, когда мы делим его на \(2^1\), имеет остаток 1, потому что 7 делится на 2 с остатком 1.

2. Деление на \(2^2\):
- Число 12, когда мы делим его на \(2^2\), имеет остаток 0, потому что 12 делится на 4 без остатка.
- Число 15, когда мы делим его на \(2^2\), имеет остаток 3, потому что 15 делится на 4 с остатком 3.

3. Деление на \(2^3\):
- Число 24, когда мы делим его на \(2^3\), имеет остаток 0, потому что 24 делится на 8 без остатка.
- Число 29, когда мы делим его на \(2^3\), имеет остаток 5, потому что 29 делится на 8 с остатком 5.

Из этих примеров мы можем сделать следующий вывод: остаток от деления числа на \(2^n\) равен последним \(n\) битам двоичного представления этого числа.

То есть, чтобы найти остаток от деления числа на \(2^n\), мы можем просто взять последние \(n\) бит числа в его двоичном представлении.

Например, для числа 29 в двоичной системе счисления это будет 11101. Если мы хотим найти остаток от деления 29 на \(2^3\), мы берем последние 3 бита, которые в данном случае равны 101. Преобразуя эти биты в десятичное число, мы получаем остаток 5.

Таким образом, остаток от деления числа на \(2^n\) можно найти, взяв последние \(n\) бит числа в его двоичном представлении и преобразовав их в десятичное число.

Источник: https://www.geeksforgeeks.org/remainder-when-a-number-is-divided-by-2n/