What is the rearranged form of the expression (cosx-cosy)^2-(sinx-siny)^2=-4sin (x-y)/2 cos(x+y)?

Давайте разберем эту задачу пошагово.

1. Вначале, давайте упростим выражение слева от равенства. Мы используем знания тригонометрии для этого.

Для начала, возведем в квадрат каждое слагаемое внутри скобок. Получим:

\((cosx - cosy)^2 = cos^2x - 2cosxcosy + cos^2y\)

Аналогично для второго слагаемого:

\((sinx - siny)^2 = sin^2x - 2sinxsiny + sin^2y\)

Теперь заметим, что \(cos^2x + sin^2x = 1\) и \(cos^2y + sin^2y = 1\) - это известные тригонометрические идентичности.

Мы можем заменить эти выражения в наше уравнение:

\(cos^2x - 2cosxcosy + cos^2y - sin^2x + 2sinxsiny - sin^2y = -4sin(x-y)/2 cos(x+y)\)

2. Воспользуемся формулами разности и суммы тригонометрических функций:

\(sin(x-y) = sinxcosy - cosxsiny\)

\(cos(x+y) = cosxcosy - sinxsiny\)

Подставим эти формулы и упростим уравнение:

\(cos^2x + sin^2x - cos^2y - sin^2y - 2cosxcosy + 2sinxsiny = -4sinxcosy + 4cosxsiny\)

3. Сгруппируем слагаемые:

\(1 - cos^2y - sin^2y - 2cosxcosy + 2sinxsiny = -4sinxcosy + 4cosxsiny\)

\(1 - (cos^2y + sin^2y) - 2cosxcosy + 2sinxsiny = -4sinxcosy + 4cosxsiny\)

Снова заметим, что \(cos^2y + sin^2y = 1\), поэтому у нас получается:

\(1 - 1 - 2cosxcosy + 2sinxsiny = -4sinxcosy + 4cosxsiny\)

\(- 2cosxcosy + 2sinxsiny = -4sinxcosy + 4cosxsiny\)

4. Теперь приведем подобные слагаемые:

\(-2cosxcosy + 2sinxsiny + 4sinxcosy - 4cosxsiny = 0\)

5. Факторизуем уравнение:

\(-2cosy(cosx - sinx) + 2siny(sin x - cosy) = 0\)

6. Вынесем общий множитель за скобки:

\(-2(cosy - siny)(sinx - cosy) = 0\)

7. Теперь решим полученное уравнение:

\(-2 = 0\) или \((cosy - siny) = 0\) или \((sinx - cosy) = 0\)

Первое уравнение \( -2 = 0\) противоречие, поэтому это неверно.

Второе уравнение \((cosy - siny) = 0\) даёт нам \(cosy = siny\).

Третье уравнение \((sinx - cosy) = 0\) даёт нам \(sinx = cosy\).

Таким образом, решением исходного уравнения являются значения \(cosy = siny\) и \(sinx = cosy\).

Выражение \( (cosx - cosy)^2-(sinx-siny)^2=-4sin (x-y)/2 cos(x+y) \) имеет такой же вид, как и исходное уравнение, но выражает равенство нулю, когда \(cosy = siny\) и \(sinx = cosy\).

Это полученная форма выражения.