What is the rearranged form of the expression (cosx-cosy)^2-(sinx-siny)^2=-4sin (x-y)/2 cos(x+y)?

Фев 17, 2024

Yarost

Давайте разберем эту задачу пошагово.

1. Вначале, давайте упростим выражение слева от равенства. Мы используем знания тригонометрии для этого.

Для начала, возведем в квадрат каждое слагаемое внутри скобок. Получим:

(c o s x - c o s y)^{2} = c o s^{2} x - 2 c o s x c o s y + c o s^{2} y

Аналогично для второго слагаемого:

(s i n x - s i n y)^{2} = s i n^{2} x - 2 s i n x s i n y + s i n^{2} y

Теперь заметим, что

c o s^{2} x + s i n^{2} x = 1

c o s^{2} y + s i n^{2} y = 1

- это известные тригонометрические идентичности.

Мы можем заменить эти выражения в наше уравнение:

c o s^{2} x - 2 c o s x c o s y + c o s^{2} y - s i n^{2} x + 2 s i n x s i n y - s i n^{2} y = - 4 s i n (x - y) / 2 c o s (x + y)

2. Воспользуемся формулами разности и суммы тригонометрических функций:

s i n (x - y) = s i n x c o s y - c o s x s i n y

c o s (x + y) = c o s x c o s y - s i n x s i n y

Подставим эти формулы и упростим уравнение:

c o s^{2} x + s i n^{2} x - c o s^{2} y - s i n^{2} y - 2 c o s x c o s y + 2 s i n x s i n y = - 4 s i n x c o s y + 4 c o s x s i n y

3. Сгруппируем слагаемые:

1 - c o s^{2} y - s i n^{2} y - 2 c o s x c o s y + 2 s i n x s i n y = - 4 s i n x c o s y + 4 c o s x s i n y

1 - (c o s^{2} y + s i n^{2} y) - 2 c o s x c o s y + 2 s i n x s i n y = - 4 s i n x c o s y + 4 c o s x s i n y

Снова заметим, что

c o s^{2} y + s i n^{2} y = 1

, поэтому у нас получается:

1 - 1 - 2 c o s x c o s y + 2 s i n x s i n y = - 4 s i n x c o s y + 4 c o s x s i n y

- 2 c o s x c o s y + 2 s i n x s i n y = - 4 s i n x c o s y + 4 c o s x s i n y

4. Теперь приведем подобные слагаемые:

- 2 c o s x c o s y + 2 s i n x s i n y + 4 s i n x c o s y - 4 c o s x s i n y = 0

5. Факторизуем уравнение:

- 2 c o s y (c o s x - s i n x) + 2 s i n y (s i n x - c o s y) = 0

6. Вынесем общий множитель за скобки:

- 2 (c o s y - s i n y) (s i n x - c o s y) = 0

7. Теперь решим полученное уравнение:

- 2 = 0

или

(c o s y - s i n y) = 0

или

(s i n x - c o s y) = 0

Первое уравнение

- 2 = 0

противоречие, поэтому это неверно.

Второе уравнение

(c o s y - s i n y) = 0

даёт нам

c o s y = s i n y

.

Третье уравнение

(s i n x - c o s y) = 0

даёт нам

s i n x = c o s y

.

Таким образом, решением исходного уравнения являются значения

c o s y = s i n y

s i n x = c o s y

.

Выражение

(c o s x - c o s y)^{2} - (s i n x - s i n y)^{2} = - 4 s i n (x - y) / 2 c o s (x + y)

имеет такой же вид, как и исходное уравнение, но выражает равенство нулю, когда

c o s y = s i n y

s i n x = c o s y

.

Это полученная форма выражения.

Знаешь ответ?

Алгебра

Как найти проекцию вектора b на ось вектора а, если даны векторы а={1; 2; -1} и b={2...

Дек 8, 2023

Алгебра

Как можно переместить камень так, чтобы выражения на двух башнях совпали, где на одной из башен...

Дек 1, 2023

What is the rearranged form of the expression (cosx-cosy)^2-(sinx-siny)^2=-4sin (x-y)/2 cos(x+y)?

Yarost

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!