Как найти проекцию вектора b на ось вектора а, если даны векторы а={1; 2; -1} и b={2

Для того чтобы найти проекцию вектора b на ось вектора а, мы можем использовать формулу проекции.

Проекция вектора b на ось вектора а может быть найдена следующим образом:

\[proj_a(b) = \frac{{b \cdot a}}{{\|a\|^2}} \cdot a\]

Где векторное произведение обозначается символом \(\cdot\) и означает скалярное произведение векторов, а \(\|a\|\) обозначает длину вектора а.

Разберемся шаг за шагом.

Шаг 1: Вычислим скалярное произведение векторов b и а.

Скалярное произведение векторов b и а определяется следующим образом:

\[b \cdot a = (b_1 \cdot a_1) + (b_2 \cdot a_2) + (b_3 \cdot a_3)\]

Где \(b_1, b_2, b_3\) - компоненты вектора b, а \(a_1, a_2, a_3\) - компоненты вектора а.

Подставляя значения, получаем:

\[b \cdot a = (2 \cdot 1) + (0 \cdot 2) + (-1 \cdot -1)\]
\[b \cdot a = 2 + 0 + 1\]
\[b \cdot a = 3\]

Шаг 2: Вычислим квадрат длины вектора а.

Квадрат длины вектора а определяется следующим образом:

\(\|a\|^2 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2\)

Подставляя значения, получаем:

\(\|a\|^2 = 1^2 + 2^2 + (-1)^2\)
\(\|a\|^2 = 1 + 4 + 1\)
\(\|a\|^2 = 6\)

Шаг 3: Вычислим проекцию вектора b на ось вектора а, используя формулу проекции:

\[proj_a(b) = \frac{{b \cdot a}}{{\|a\|^2}} \cdot a\]

Подставляя значения, получаем:

\[proj_a(b) = \frac{{3}}{{6}} \cdot {1; 2; -1}\]
\[proj_a(b) = \frac{{1}}{{2}} \cdot {1; 2; -1}\]

Упрощая полученное выражение, получаем:

\[proj_a(b) = \left(\frac{{1}}{{2}}\right) \cdot {1; 2; -1}\]
\[proj_a(b) = {\left(\frac{{1}}{{2}}\right)} \cdot {1; 1; -\frac{{1}}{{2}}}\]
\[proj_a(b) = {\left(\frac{{1}}{{2}}\right)} \cdot {1; 1; -\frac{{1}}{{2}}}\]
\[proj_a(b) = {\left(\frac{{1}}{{2}}\right)} \cdot {1 \cdot \frac{{1}}{{2}}; 1 \cdot \frac{{1}}{{2}}; -\frac{{1}}{{2}} \cdot \frac{{1}}{{2}}}\]
\[proj_a(b) = {\left(\frac{{1}}{{2}}\right)} \cdot {\left(\frac{{1}}{{2}}; \frac{{1}}{{2}}; -\frac{{1}}{{4}}\right)}\]
\[proj_a(b) = \left(\frac{{1}}{{4}}; \frac{{1}}{{4}}; -\frac{{1}}{{8}}\right)\]

Таким образом, проекция вектора b на ось вектора а равна \(\left(\frac{{1}}{{4}}; \frac{{1}}{{4}}; -\frac{{1}}{{8}}\right)\).