What is the probability that the area of the square built on segment am will be between 36 cm and 64 cm squared

Чтобы найти вероятность того, что площадь квадрата, построенного на отрезке \(am\), будет находиться между 36 \(\text{см}^2\) и 64 \(\text{см}^2\), нам необходимо рассмотреть все возможные положения точки \(m\) на отрезке \(am\) и определить, в каких случаях условие выполняется.

Данный отрезок \(am\) имеет длину 12 см. Предположим, что точка \(m\) находится на расстоянии \(x\) см от начала отрезка \(a\). Таким образом, точка \(m\) также будет находиться на расстоянии \(12 - x\) см от конца отрезка \(m\).

Для построения квадрата на отрезке \(am\) нам необходимо провести перпендикуляр до точки \(m\), таким образом получая сторону квадрата. Пусть длина стороны квадрата будет обозначена как \(s\).

Теперь мы можем найти площадь \(S\) квадрата, используя формулу \(S = s^2\). Если \(m\) находится на расстоянии \(x\) от \(a\), то \(s\) будет равно \(x\), а если \(m\) находится на расстоянии \(12 - x\) от \(a\), то \(s\) будет равно \(12 - x\).

Таким образом, мы можем записать выражение для площади квадрата следующим образом:

\[S = \begin{cases} x^2, & \text{если } 0 \leq x \leq 12 \\ (12 - x)^2, & \text{если } 0 \leq x \leq 12 \end{cases}\]

Теперь нам нужно определить, какие значения \(x\) приведут к тому, что площадь квадрата будет находиться в заданном интервале. Для этого мы можем решить два неравенства:

\[36 \leq S \leq 64\]

Для первого случая (\(S = x^2\)) мы получаем:

\[36 \leq x^2 \leq 64\]

Возведя все три части уравнения в квадрат, получаем:

\[6 \leq x \leq 8\]

Таким образом, для площади первого случая находится в диапазоне от 36 \(\text{см}^2\) до 64 \(\text{см}^2\), \(x\) должно находиться в диапазоне от 6 см до 8 см.

Для второго случая (\(S = (12 - x)^2\)) мы получаем:

\[36 \leq (12 - x)^2 \leq 64\]

Снова возведем все три части уравнения в квадрат:

\[6 \leq 12 - x \leq 8\]

После преобразований получаем:

\[4 \leq x \leq 6\]

Таким образом, для площади второго случая, находящейся в диапазоне от 36 \(\text{см}^2\) до 64 \(\text{см}^2\), \(x\) должно быть в диапазоне от 4 см до 6 см.

Итак, вероятность того, что площадь квадрата будет находиться в заданном диапазоне, будет равна отношению длины интервала \(x\) к длине всего отрезка \(am\):

\[\text{Вероятность} = \frac{\text{Длина интервала } x}{\text{Длина отрезка } am} = \frac{8 - 4}{12} = \frac{1}{3}\]

Таким образом, вероятность того, что площадь квадрата, построенного на отрезке \(am\), будет находиться между 36 \(\text{см}^2\) и 64 \(\text{см}^2\), равна \(\frac{1}{3}\).