What is the modified version of the equation 2sin^3x+sqrt(2)cos2x+sinx=sqrt(2)?

Для решения этой задачи нам нужно найти измененную версию уравнения \(2\sin^3(x) + \sqrt{2}\cos(2x) + \sin(x) = \sqrt{2}\). Я покажу вам подробный пошаговый алгоритм.

Шаг 1: Разложение тригонометрических функций. Раскроем куб синуса и применим формулу двойного угла для косинуса.

Получаем: \(2\sin(x)(1-\cos^2(x))+\sqrt{2}\cos^2(x)-\sqrt{2}\sin^2(x)+\sin(x)=\sqrt{2}\).

Шаг 2: Объединение подобных слагаемых. Сгруппируем похожие элементы.

Получаем: \(2\sin(x) - 2\sin^3(x) + \sqrt{2}\cos^2(x) - \sqrt{2}\sin^2(x) + \sin(x) = \sqrt{2}\).

Шаг 3: Приведение подобных слагаемых и перенос всех слагаемых на одну сторону уравнения.

Получаем: \(-2\sin^3(x) - \sqrt{2}\sin^2(x) + 3\sin(x) + \sqrt{2}\cos^2(x) - \sqrt{2} = 0\).

Шаг 4: Используем формулы тригонометрии для преобразования уравнения. Используем следующие формулы:

\(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\) и \(\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)\).

Подставляем эти значения в уравнение и упрощаем.

Получаем: \(-2\sin^3(x) - \sqrt{2}(1-\sin^2(x)) + 3\sin(x) + \sqrt{2}(1 - \sin^2(x)) - \sqrt{2} = 0\).

Шаг 5: Упрощаем уравнение.

Получаем: \(-2\sin^3(x) - \sqrt{2} + 2\sqrt{2}\sin^2(x) + 3\sin(x) - \sqrt{2} = 0\).

Шаг 6: Переносим все слагаемые на одну сторону и упрощаем.

Получаем: \(-2\sin^3(x) + 2\sqrt{2}\sin^2(x) + 3\sin(x) - 2\sqrt{2} = 0\).

Шаг 7: Разложение на множители.

Получаем: \((\sin(x)-\sqrt{2})(2\sin^2(x)+\sqrt{2}\sin(x)-1)=0\).

Таким образом, исходное уравнение имеет два решения:

1) \(\sin(x) - \sqrt{2} = 0\).
Отсюда получаем \(\sin(x) = \sqrt{2}\).
Решение этого уравнения в интервале от 0 до \(2\pi\) это \(x = \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\).

2) \(2\sin^2(x) + \sqrt{2}\sin(x) - 1 = 0\).
Для решения этого квадратного уравнения мы можем использовать квадратное уравнение и вычислить значения синуса.

Множество решений исходного уравнения будет объединением решений из шага 1 и решений полученных в шаге 2.

Пожалуйста, проверьте свое решение еще раз и уточните, если что-то непонятно.