Яке значення першого числа утворює арифметичну прогресію з двома іншими числами, сума яких дорівнює 111? Друге число

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть первое число в арифметической прогрессии равно \(x\). Тогда второе число будет равно \(5x\), так как оно является пятью разами больше первого числа.

Сумма всех трех чисел равна 111. Это означает, что:

\[x + 5x + ? = 111\]

Необходимо заполнить вопросительное место. Заметим, что у нас нет значений для третьего числа в прогрессии. Однако, так как у нас имеется арифметическая прогрессия, мы знаем, что разность между любыми двумя соседними числами будет одинаковая. Обозначим эту разность как \(d\).

Тогда третье число будет равно \(5x + d\).

Теперь мы можем записать уравнение для суммы:

\[x + 5x + (5x + d) = 111\]

Скомбинируем подобные слагаемые:

\[11x + d = 111\]

Теперь нам нужно найти значения \(x\), при которых это уравнение истинно.

У нас есть несколько вариантов ответа: а) -33; б) -7.4; в) 37; г) 84. Подставим каждое из этих значений в уравнение и проверим их.

а) При \(x = -33\) у нас получится: \(11(-33) + d = 111\). Если мы решим это уравнение, то найдем, что \(d = 66\). Таким образом, в арифметической прогрессии будут числа -33, -165 и -99. Тем не менее, сумма этих чисел не равна 111, поэтому ответ а) -33 неверен.

б) При \(x = -7.4\) получим: \(11(-7.4) + d = 111\). Если решим это уравнение, то найдем \(d \approx 83.4\). Таким образом, числа в прогрессии будут примерно -7.4, -37, и около -17.6. Но их сумма также не равна 111, поэтому ответ б) -7.4 неверен.

в) Подставим \(x = 37\): \(11(37) + d = 111\). Решив это уравнение, получим \(d = -26\). Тогда числа в прогрессии будут 37, 185 и 159. Сумма этих чисел равна 381, а не 111, поэтому ответ в) 37 неверен.

Остался последний вариант ответа:

г) Когда \(x = 84\), получаем: \(11(84) + d = 111\). Решив это уравнение, найдем, что \(d = -933\). Следовательно, числа в прогрессии будут 84, 420 и -513. Сумма этих чисел равна 111, что означает, что ответ г) 84 является правильным.

Таким образом, значение первого числа равно 84 (вариант ответа г).