What is the length of the shorter diagonal of the rhombus if the sum of its two acute angles is 120° and its perimeter

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. Для начала, давайте вспомним, что ромб - это четырехугольник, у которого все стороны равны. В ромбе также должны выполняться некоторые особенности, например, сумма углов ромба всегда равна 360°.

Мы знаем, что сумма двух острых углов ромба составляет 120°. Для решения задачи нам необходимо найти длину более короткой диагонали ромба.

Шаг 1: Найдем величину одного острого угла ромба.
Мы знаем, что сумма двух острых углов ромба составляет 120°.
Так как все углы ромба равны, мы можем разделить 120° на 2, чтобы получить величину одного острого угла.
120° / 2 = 60°

Шаг 2: Теперь найдем меру угла, через который мы будем находиться по отношению к более короткой диагонали.
Поскольку ромб имеет симметрию, мы знаем, что угол, через который мы можем находиться по отношению к более короткой диагонали, также равен 60°.

Шаг 3: Применим теперь тригонометрию и закон косинуса, чтобы найти длину более короткой диагонали.
В ромбе мы можем разделить его на два равнобедренных треугольника. Зная угол 60° и длины равных сторон, мы можем использовать закон косинуса для нахождения длины диагонали.

Пусть сторона ромба будет равна \(a\), тогда длина более короткой диагонали будет \(d_1\).

Закон косинуса гласит: \[d_1^2 = 2 \cdot a^2 - 2 \cdot a^2 \cdot \cos(60°)\]

Упростим это выражение:
\[d_1^2 = 2 \cdot a^2 - 2 \cdot a^2 \cdot \frac{1}{2}\]
\[d_1^2 = 2 \cdot a^2 - a^2\]
\[d_1^2 = a^2\]

Теперь найдем квадрат длины более короткой диагонали ромба.

Шаг 4: Решим получившееся уравнение:
\[d_1^2 = a^2\]
Так как мы ищем длину, а не квадрат длины диагонали, возьмем квадратный корень обеих частей уравнения:
\[d_1 = \sqrt{a^2}\]
\[d_1 = a\]

Итак, мы получаем, что длина более короткой диагонали ромба равна длине одной из его сторон.

Ответ: Длина более короткой диагонали ромба равна длине одной из его сторон.