What is the length of an edge of a regular tetrahedron if the sum of all edges is 72 cm? Draw the development

Давайте начнем с рассмотрения задачи о длине ребра регулярного тетраэдра. Для начала вспомним, что регулярный тетраэдр - это такой тетраэдр, у которого все его ребра одинаковой длины, а все его грани - равносторонние треугольники.

В данной задаче мы знаем, что сумма всех ребер равна 72 см. А чтобы найти длину одного ребра тетраэдра, нам нужно разделить эту сумму на количество ребер.

У регулярного тетраэдра всего 6 ребер, так как каждая грань состоит из трех ребер, и у нас 4 грани. Поделим сумму всех ребер на количество ребер:

\[ \text{Длина одного ребра} = \frac{\text{Сумма всех ребер}}{\text{Количество ребер}} = \frac{72}{6} = 12 \text{ см} \]

Таким образом, длина одного ребра регулярного тетраэдра составляет 12 см.

Теперь давайте перейдем к рассмотрению площади поверхности этого тела. Чтобы найти площадь поверхности тетраэдра, мы должны сложить площади всех его граней. В данном случае у нас 4 грани.

Учитывая, что грани регулярного тетраэдра - равносторонние треугольники, мы можем воспользоваться формулой для площади равностороннего треугольника:

\[ \text{Площадь одной грани} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \]

Где \( a \) - длина ребра. В нашем случае длина ребра равна 12 см. Подставим это значение в формулу и вычислим площадь одной грани:

\[ \text{Площадь одной грани} = \frac{12^2 \sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

Таким образом, площадь одной грани тетраэдра составляет $36\sqrt{3}$ квадратных сантиметров.

Чтобы найти общую площадь поверхности тетраэдра, мы должны умножить площадь одной грани на количество граней:

\[ \text{Площадь поверхности тетраэдра} = \text{Площадь одной грани} \times \text{Количество граней} = 36\sqrt{3} \times 4 = 144\sqrt{3} \text{ см}^2 \]

Таким образом, общая площадь поверхности тетраэдра составляет $144\sqrt{3}$ квадратных сантиметров.

Теперь перейдем к вычислению высоты тетраэдра. Для этого мы можем воспользоваться формулой высоты равностороннего треугольника:

\[ \text{Высота} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \]

Где \( a \) - длина ребра. В нашем случае длина ребра равна 12 см. Подставим это значение в формулу и вычислим высоту тетраэдра:

\[ \text{Высота} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ см} \]

Таким образом, высота тетраэдра составляет $6\sqrt{3}$ сантиметров.

Наконец, давайте рассмотрим, сколько маленьких тетраэдров с ребром в 6 см можно получить из данного тетраэдра. Чтобы это выяснить, мы должны разделить объем большого тетраэдра на объем маленького тетраэдра.

Объем тетраэдра можно вычислить с помощью формулы:

\[ \text{Объем тетраэдра} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12} \]

Где \( a \) - длина ребра. У нас есть большой тетраэдр с ребром в 12 см, поэтому подставим это значение в формулу и вычислим его объем:

\[ \text{Объем большого тетраэдра} = \frac{12^3\sqrt{2}}{12} = 144\sqrt{2} \text{ см}^3 \]

Теперь рассмотрим маленький тетраэдр с ребром в 6 см. Подставим это значение в формулу для объема тетраэдра и вычислим его объем:

\[ \text{Объем маленького тетраэдра} = \frac{6^3\sqrt{2}}{12} = 18\sqrt{2} \text{ см}^3 \]

Наконец, чтобы найти количество маленьких тетраэдров, мы должны разделить объем большого тетраэдра на объем маленького тетраэдра:

\[ \text{Количество маленьких тетраэдров} = \frac{\text{Объем большого тетраэдра}}{\text{Объем маленького тетраэдра}} = \frac{144\sqrt{2}}{18\sqrt{2}} = \frac{144}{18} = 8 \]

Таким образом, из данного большого тетраэдра с ребром в 12 см можно получить 8 маленьких тетраэдров с ребром в 6 см.

Ниже вы можете видеть изображение развития регулярного тетраэдра:

       A

       /\

      /  \

     /    \

    /______\

   C        B

Надеюсь, это решение задачи будет понятным и полным для школьника. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!