What is the equivalent expression for the equation sin(x) * cos(2x) + cos(x) * cos(4x) = sin(pi/4 + 2x) * sin(pi/4

Чтобы решить данную задачу, мы должны исследовать выражение слева от равенства и попытаться привести его к эквивалентному виду правой части уравнения. Давайте начнем:

1. Мы обратимся к формуле произведения синуса двух углов \(\sin(A+B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B)\).

Применим эту формулу к правой части уравнения:
\(\sin\left(\frac{\pi}{4} + 2x\right) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{4} - 3x\right)\)

2. Подставим \(\frac{\pi}{4} + 2x\) вместо \(A\) в формуле произведения синуса двух углов:

\(\sin\left(\frac{\pi}{4} + 2x\right) = \sin\frac{\pi}{4}\cos(2x) + \cos\frac{\pi}{4}\sin(2x)\)

Преобразуем выражение:

\(\sin\left(\frac{\pi}{4} + 2x\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos(2x) + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(2x)\)

3. Подставим \(\frac{\pi}{4} - 3x\) вместо \(B\) в формуле произведения синуса двух углов:

\(\sin\left(\frac{\pi}{4} - 3x\right) = \sin\frac{\pi}{4}\cos(-3x) + \cos\frac{\pi}{4}\sin(-3x)\)

Преобразуем выражение:

\(\sin\left(\frac{\pi}{4} - 3x\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos(3x) - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(3x)\)

4. Подставим найденные значения обратно в наше уравнение:

\(\sin(x) \cdot \cos(2x) + \cos(x) \cdot \cos(4x) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(2x) + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(2x)\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos(3x) - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin(3x)\right)\)

5. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

\(\sin(x)\cos(2x) + \cos(x)\cos(4x) = \frac{1}{2}\cos(2x)\cos(3x) - \frac{1}{2}\sin(2x)\sin(3x) + \frac{1}{2}\sin(2x)\cos(3x) - \frac{1}{2}\sin(3x)\cos(2x)\)

6. Сгруппируем слагаемые с подобными функциями:

\(\sin(x)\cos(2x) + \cos(x)\cos(4x) = \frac{1}{2}\left(\cos(2x)\cos(3x) + \sin(2x)\cos(3x)\right) - \frac{1}{2}\left(\sin(2x)\sin(3x) + \sin(3x)\cos(2x)\right)\)

7. Преобразуем суммы произведений функций в произведения сумм функций:

\(\sin(x)\cos(2x) + \cos(x)\cos(4x) = \frac{1}{2}\cdot\cos(3x)\cdot(\cos(2x) + \sin(2x)) - \frac{1}{2}\cdot\sin(3x) \cdot (\sin(2x) + \cos(2x))\)

Таким образом, эквивалентное выражение для заданного уравнения:

\(\sin(x)\cos(2x) + \cos(x)\cos(4x) = \frac{1}{2}\cdot\cos(3x)\cdot(\cos(2x) + \sin(2x)) - \frac{1}{2}\cdot\sin(3x) \cdot (\sin(2x) + \cos(2x))\)

Я надеюсь, что данное подробное решение помогло вам разобраться с задачей. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.