What is the domain of the function y = 3log4(9-x^2) + √(3sinx)?

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Для начала, нам дана функция y, и мы должны определить ее область определения. Область определения функции - это множество всех значений x, для которых функция определена. В нашем случае у нас два компонента функции: логарифмический и корневой. Давайте рассмотрим каждый компонент отдельно.

Первый компонент функции: 3log4(9-x^2). Здесь мы имеем логарифм базы 4 от выражения (9-x^2). Чтобы логарифм был определен, выражение внутри логарифма должно быть положительным и не равным нулю. Таким образом, нам нужно решить неравенство 9-x^2 > 0.

Чтобы решить это неравенство, давайте сначала найдем корни этого выражения. Для этого приравняем его к нулю:

9 - x^2 = 0

Теперь найдем корни этого уравнения. Приведем его к виду:

x^2 - 9 = 0

(x + 3)(x - 3) = 0

Теперь мы видим, что у нас есть два корня: x = -3 и x = 3.

Теперь давайте построим таблицу знаков для выражения 9 - x^2:

-3 3
----|----|----
- + -

Теперь мы можем определить, когда это выражение положительное (и мы можем применить логарифм) и когда оно отрицательное (и невозможно применить логарифм).

9 - x^2 > 0, когда x находится в интервале (-3, 3).

Второй компонент функции: √(3sinx). Здесь мы имеем квадратный корень из произведения трех на sinx. Чтобы подкоренное выражение было определено, sinx должно находиться в интервале от 0 до 1.

Таким образом, мы можем записать неравенство: 0 ≤ sinx ≤ 1.

Теперь давайте объединим оба компонента функции, чтобы определить область определения функции в целом.

Объединяя оба неравенства, получим:

-3 < x < 3 и 0 ≤ sinx ≤ 1.

Следовательно, область определения функции состоит из всех x, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно. Таким образом, область определения функции y = 3log4(9-x^2) + √(3sinx) состоит из всех x, которые находятся в интервале (-3, 3) и для которых 0 ≤ sinx ≤ 1.

Надеюсь, это решение помогло вам понять, как найти область определения данной функции. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!