What is the derivative of the function? f(x) = √x/6 - 5x^2 + x/6 + 14; x0

Хорошо, рассмотрим данную задачу о нахождении производной функции \(f(x) = \sqrt{\frac{x}{6}} - 5x^2 + \frac{x}{6} + 14\) и запросе значения производной в точке \(x_0\). Для начала, найдем производную данной функции, а затем подставим значение \(x_0\).

Для нахождения производной функции \(f(x)\) воспользуемся правилом дифференцирования для каждого слагаемого:

1. Слагаемое \(\sqrt{\frac{x}{6}}\) может быть переписано в виде \((\frac{x}{6})^{\frac{1}{2}}\). Применяя правило степенной функции, получим:
\[\frac{1}{2} \cdot (\frac{x}{6})^{\frac{1}{2} - 1} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{6}} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{4 \sqrt{6x}}.\]

2. Слагаемое \(-5x^2\) является многочленом степени 2. Применяя правило степенной функции, получим:
\[-10x.\]

3. Слагаемое \(\frac{x}{6}\) является линейной функцией. Применяя правило дифференцирования для константного множителя, получим:
\[\frac{1}{6}.\]

4. Слагаемое 14 является константой. Производная константы равна нулю.

Таким образом, производная функции \(f(x)\) будет равна:
\[\frac{1}{4 \sqrt{6x}} - 10x + \frac{1}{6}.\]

Для ответа на запрос значения производной в точке \(x_0\) достаточно подставить \(x_0\) в полученную производную функцию.

Например, если \(x_0 = 2\), то значение производной в этой точке будет:
\[\frac{1}{4 \sqrt{6 \cdot 2}} - 10 \cdot 2 + \frac{1}{6} = \frac{1}{4 \sqrt{12}} - 20 + \frac{1}{6}.\]

Таким образом, чтобы получить итоговый ответ, нужно только подставить значение \(x_0\) вместо \(x\) в выражении для производной функции.