What is the derivative of 1/2tg(4x-pi)-3e^2+pix0=pi/4?

Хорошо, давайте решим вашу задачу. Наша задача состоит в том, чтобы найти производную выражения \(\frac{1}{2}\tan(4x-\pi)-3e^2+\pi x^0=\frac{\pi}{4}\).

Для начала, давайте выполнять дифференцирование пошагово.

Шаг 1: Разложение \(\tan(4x-\pi)\)
Мы можем применить тригонометрическое тождество \(\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\) для разложения функции \(\tan(4x-\pi)\).

\(\tan(4x-\pi)=\frac{\sin(4x-\pi)}{\cos(4x-\pi)}\)

Шаг 2: Продолжаем разложение
Мы можем использовать известные тригонометрические тождества для дальнейшего разложения.

\(\sin(4x-\pi) = -\sin(\pi-4x) = -\sin(4x)\)
\(\cos(4x-\pi) = -\cos(\pi-4x) = -\cos(4x)\)

Шаг 3: Замена в исходной формуле
Подставим наши разложенные значения обратно в нашу исходную формулу.

\(\frac{1}{2}\left(\frac{-\sin(4x)}{-\cos(4x)}\right) - 3e^2 + \pi x^0 = \frac{\pi}{4}\)

Упрощаем выражение:

\(\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin(4x)}{\cos(4x)} - 3e^2 + \pi = \frac{\pi}{4}\)

Шаг 4: Продолжение упрощения
Давайте продолжим упрощение, чтобы подготовить выражение для дифференцирования.

\(\frac{1}{2}\cdot\tan(4x) - 3e^2 + \pi = \frac{\pi}{4}\)

Теперь, когда у нас есть упрощенное выражение, мы можем перейти к последнему шагу.

Шаг 5: Дифференцирование
Продифференцируем наше уравнение по переменной \(x\).

\(\frac{d}{dx} \left[\frac{1}{2}\cdot\tan(4x) - 3e^2 + \pi\right] = \frac{d}{dx}\left[\frac{\pi}{4}\right]\)

Производная первого слагаемого равна:

\(\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}\cdot\tan(4x)\right] = \frac{1}{2}\cdot\frac{d}{dx}\left[\tan(4x)\right]\)

Затем мы можем применить правило дифференцирования функции тангенса:

\(\frac{1}{2}\cdot\frac{d}{dx}\left[\tan(4x)\right] = \frac{1}{2}\cdot\frac{d}{dx}\left[\frac{\sin(4x)}{\cos(4x)}\right]\)

Используя правило дифференцирования частного функций, получаем:

\(\frac{1}{2}\cdot\frac{d}{dx}\left[\frac{\sin(4x)}{\cos(4x)}\right] = \frac{1}{2}\cdot\frac{\cos(4x)\cdot(4) - \sin(4x)\cdot(-4)}{\cos^2(4x)}\)

Получаем:

\(\frac{1}{2}\cdot\frac{4\cos(4x) + 4\sin(4x)}{\cos^2(4x)} = \frac{2(\cos(4x) + \sin(4x))}{\cos^2(4x)}\)

Осталось продифференцировать остальные слагаемые:

\(\frac{d}{dx}\left[-3e^2 + \pi\right] = 0\)

Получаем:

\(\frac{2(\cos(4x) + \sin(4x))}{\cos^2(4x)} - 0 = \frac{2(\cos(4x) + \sin(4x))}{\cos^2(4x)}\)

Таким образом, мы получили выражение для производной исходной функции \(f(x)\):

\(f"(x) = \frac{2(\cos(4x) + \sin(4x))}{\cos^2(4x)}\)

Это и есть искомый ответ на задачу.