What are the values of cos α, tan α, and cot α if sin α = 12/13, α ∈ (π/2

Хорошо, рассмотрим задачу по шагам.

Дано, что \(\sin\alpha = \frac{12}{13}\) и \(\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\). Нам нужно найти значения функций \(\cos\alpha\), \(\tan\alpha\) и \(\cot\alpha\).

Шаг 1: Найдем значение \(\cos\alpha\).
Используем тригонометрическую тождество, которое гласит: \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\).
Подставим значение \(\sin\alpha = \frac{12}{13}\):
\(\left(\frac{12}{13}\right)^2 + \cos^2\alpha = 1\).
Упростим выражение:
\(\frac{144}{169} + \cos^2\alpha = 1\).
Тогда \(\cos^2\alpha = 1 - \frac{144}{169}\).
Выполним вычисления:
\(\cos^2\alpha = \frac{169 - 144}{169}\).
\(\cos^2\alpha = \frac{25}{169}\).
Теперь извлечем квадратный корень с обеих сторон, чтобы найти значение \(\cos\alpha\):
\(\cos\alpha = \sqrt{\frac{25}{169}}\).
Упростим корень:
\(\cos\alpha = \frac{5}{13}\).

Шаг 2: Найдем значение \(\tan\alpha\).
Используем определение \(\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).
Подставим значения \(\sin\alpha\) и \(\cos\alpha\):
\(\tan\alpha = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}}\).
Упростим выражение:
\(\tan\alpha = \frac{12}{13} \cdot \frac{13}{5}\).
\(\tan\alpha = \frac{12}{5}\).
Таким образом, \(\tan\alpha = \frac{12}{5}\).

Шаг 3: Найдем значение \(\cot\alpha\).
Используем определение \(\cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha}\).
Подставим значение \(\tan\alpha\):
\(\cot\alpha = \frac{1}{\frac{12}{5}}\).
Упростим выражение:
\(\cot\alpha = \frac{5}{12}\).
Таким образом, \(\cot\alpha = \frac{5}{12}\).

Итак, полученные значения:
\(\cos\alpha = \frac{5}{13}\),
\(\tan\alpha = \frac{12}{5}\),
\(\cot\alpha = \frac{5}{12}\).