Вычислите производную функции у′(х), если

Задача: Вычислите производную функции \(y"(x)\), если

\[y(x) = \frac{{3x^2 + 2x - 1}}{{x - 2}}\]

Решение:

Для вычисления производной функции \(y"(x)\) воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. В данном случае функция \(y(x)\) представлена в виде частного двух функций: числителя и знаменателя. Давайте найдем производные этих функций по отдельности.

1. Найдем производную числителя \((3x^2 + 2x - 1)\):

У нас есть несколько слагаемых, поэтому мы можем дифференцировать их поочередно. Применим правило дифференцирования для мономов и суммы функций:

Дифференцирование \(3x^2\):
\(\frac{{d}}{{dx}}(3x^2) = 3 \cdot 2x = 6x\)

Дифференцирование \(2x\):
\(\frac{{d}}{{dx}}(2x) = 2 \cdot 1 = 2\)

Дифференцирование \(-1\):
\(\frac{{d}}{{dx}}(-1) = 0\) (так как производная константы равна нулю)

Теперь соберем все слагаемые вместе:

\(\frac{{d}}{{dx}}(3x^2 + 2x - 1) = 6x + 2\)

2. Найдем производную знаменателя \((x - 2)\):

Применим правило дифференцирования для разности функций:

Дифференцирование \(x\):
\(\frac{{d}}{{dx}}(x) = 1\)

Дифференцирование \(-2\):
\(\frac{{d}}{{dx}}(-2) = 0\) (так как производная константы равна нулю)

Соберем все слагаемые вместе:

\(\frac{{d}}{{dx}}(x - 2) = 1\)

3. Вычислим производную функции \(y(x)\):

Теперь, когда у нас есть производные числителя и знаменателя, мы можем применить правило дифференцирования частного функций:

\[y"(x) = \frac{{(6x + 2) \cdot (x - 2) - (3x^2 + 2x - 1) \cdot 1}}{{(x - 2)^2}}\]

Раскроем скобки:

\[y"(x) = \frac{{6x^2 - 12x + 2x - 4 - 3x^2 - 2x + 1}}{{(x - 2)^2}}\]

\[y"(x) = \frac{{3x^2 - 12x - 3}}{{(x - 2)^2}}\]

Таким образом, производная функции \(y(x)\) равна \(\frac{{3x^2 - 12x - 3}}{{(x - 2)^2}}\).