Вычислите косинус угла между точками A(-4;8) B(2;14) и C(4;0

Для вычисления косинуса угла между точками A(-4;8), B(2;14) и C(4;0), нам потребуется использовать понятие скалярного произведения векторов.

Сначала вычислим векторы AB и BC, задаваемые разностями координат.

Вектор AB будет равен:

\(\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (2 - (-4), 14 - 8) = (6, 6)\).

Вектор BC будет равен:

\(\overrightarrow{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B) = (4 - 2, 0 - 14) = (2, -14)\).

Затем найдем скалярное произведение этих векторов, используя формулу:

\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (x_1 \cdot x_2) + (y_1 \cdot y_2)\).

\((6 \cdot 2) + (6 \cdot -14) = 12 - 84 = -72\).

Далее, найдем длины векторов AB и BC с помощью формулы:

\(\left\lVert \overrightarrow{AB} \right\rVert = \sqrt{x^2 + y^2}\).

\(\left\lVert \overrightarrow{AB} \right\rVert = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\).

\(\left\lVert \overrightarrow{BC} \right\rVert = \sqrt{2^2 + (-14)^2} = \sqrt{4 + 196} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}\).

Теперь мы можем воспользоваться формулой для косинуса угла между векторами, базисными векторами AB и BC:

\(\cos(\theta) = \frac{{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}}}{{\left\lVert \overrightarrow{AB} \right\rVert \cdot \left\lVert \overrightarrow{BC} \right\rVert}}\).

\(\cos(\theta) = \frac{{-72}}{{6\sqrt{2} \cdot 10\sqrt{2}}} = \frac{{-72}}{{120}} = -\frac{{3}}{{5}}\).

Полученный результат - это значение косинуса угла между векторами AB и BC.

Обоснование:

Скалярное произведение векторов используется для измерения угла между ними. В данной задаче мы вычисляем косинус угла между векторами AB и BC, которые соответствуют отрезкам, объединяющим точки A и B, а также B и C. При помощи вычисленного скалярного произведения и длин векторов AB и BC, мы получаем значение косинуса угла между этими векторами. Результат - это числовая величина, которая помогает нам определить угол между векторами и его характеристики. В данном случае, полученный результат равен -3/5, что указывает на отрицательный угол между векторами AB и BC.