1) Какова высота пирамиды ABCD, в которой все ребра равны a? 2) Какова площадь сечения, которое проходит через высоту

a? Давайте решим поставленные задачи по очереди.

1) Чтобы определить высоту пирамиды ABCD, мы можем использовать теорему Пифагора. Обратимся к основанию ABCD. В этом случае, ABC - это равносторонний треугольник с длиной стороны a. Мы можем найти его высоту, используя соотношение $h^2=a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2$, где h - искомая высота пирамиды ABCD. Вычислим:

$h^2=a^2-\frac{a^2}{4}=\frac{3a^2}{4}$

Отсюда получаем, что $h=\sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}a}{2}$.

Таким образом, высота пирамиды ABCD равна $\frac{\sqrt{3}a}{2}$.

2) Площадь сечения, проходящего через высоту пирамиды и боковое ребро, можно найти, вычислив площадь треугольника. Для этого мы должны знать длину основания этого треугольника. Посмотрим на основание ABCD. Оно является равносторонним треугольником, в котором все стороны равны a. Таким образом, длина основания треугольника равна a.

Для нахождения площади треугольника, используем формулу $S=\frac{1}{2}\times a\times h$, где S - площадь треугольника, a - длина основания треугольника, а h - высота пирамиды.

Подставляем значения:

$S=\frac{1}{2}\times a\times \frac{\sqrt{3}a}{2}=\frac{\sqrt{3}{a}^2}{4}$.

Таким образом, площадь сечения равна $\frac{\sqrt{3}{a}^2}{4}$.

3) Косинус угла наклона боковой грани к основанию в правильной пирамиде ABCD можно определить, используя геометрические соображения. В правильной пирамиде ABCD боковая грань является равносторонним треугольником, а основание ABCD - равносторонний четырехугольник.

Чтобы найти косинус угла наклона боковой грани к основанию, мы можем использовать соотношение между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника, которые составляют боковую грань. Для нашей задачи, катет - это половина длины основания, то есть $\frac{a}{2}$, а гипотенуза - длина бокового ребра пирамиды, то есть a.

Используя соотношение косинуса угла, $cos\theta =\frac{adjacent}{hypotenuse}$, мы можем найти косинус угла наклона боковой грани. Подставляем значения:

$cos\theta =\frac{\frac{a}{2}}{a}=\frac{1}{2}$.

Таким образом, косинус угла наклона боковой грани к основанию в правильной пирамиде ABCD равен $\frac{1}{2}$.

Это подробные решения поставленных задач. Если у вас возникнут еще вопросы или вам нужно что-то еще, не стесняйтесь спрашивать! Я всегда готов помочь вам в учебе.