Какое уравнение касательной можно составить к графику функции f(x)= 1/2sin (4x - п/3) в точке с абсциссой x = п/6?

Сперва давайте найдем производную функции f(x) для определения углового коэффициента касательной в любой точке.

Для функции f(x) = \(\frac{1}{2}\sin(4x - \frac{\pi}{3})\), применим формулу дифференцирования синуса и учтем, что коэффициент 4 отражается в угловом коэффициенте:

f"(x) = \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \cos(4x - \frac{\pi}{3})\)

Теперь найдем угловой коэффициент касательной в точке x = \(\frac{\pi}{6}\) путем подстановки данной точки в производную функции:

f"(\(\frac{\pi}{6}\)) = \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \cos(4 \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3})\) = \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \cos(\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3})\)

Расчитаем значение углового коэффициента:

f"(\(\frac{\pi}{6}\)) = \(\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \cos(\frac{\pi}{3})\) = \(2 \cdot \frac{1}{2}\) = 1

Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке x = \(\frac{\pi}{6}\) равен 1.

Теперь рассмотрим вторую часть вопроса о точках на интервале [0, \(\pi\)], где касательная составляет угол с осью OX.

Касательная к графику функции составляет угол с осью OX, когда ее угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона.

Тангенс угла наклона равен отношению противоположной стороны к прилежащей стороне в треугольнике прямоугольного треугольника, образованного углом наклона и осью OX.

В данном случае угол наклона равен 1, таким образом, касательная будет составлять угол 45 градусов с осью OX.

Таким образом, на интервале [0, \(\pi\)] касательная к графику функции f(x) = \(\frac{1}{2}\sin(4x - \frac{\pi}{3})\) будет составлять угол 45 градусов с осью OX.