Выберите все верные утверждения: Если значение производной f’(x) положительно на интервале (a;b), то функция

Для решения данной задачи, давайте рассмотрим каждое утверждение по отдельности:

1. "Если значение производной f’(x) положительно на интервале (a;b), то функция f(x) возрастает на этом интервале."
Это утверждение верно, так как производная функции определяет скорость изменения функции. Когда производная положительна, это означает, что функция возрастает на данном интервале, то есть значения функции увеличиваются по мере увеличения аргумента.

2. "Если значение производной f’(x) отрицательно на интервале (a;b), то функция f(x) убывает на этом интервале."
Это утверждение также верно, так как отрицательное значение производной указывает на убывание функции на данном интервале. Значения функции уменьшаются по мере увеличения аргумента.

3. "Если функция f(x) непрерывна в точке х0 и меняет знак с положительного на отрицательный, то в точке х0 функция имеет локальный минимум."
Это утверждение неверно. Изменение знака функции с положительного на отрицательный в точке x₀ говорит о том, что функция может иметь локальный максимум. Для определения точности утверждения, необходимо проверить вторую производную функции в точке x₀.

4. "Если функция f(x) непрерывна в точке х0 и меняет знак с положительного на отрицательный, то в точке х0 функция имеет локальный максимум."
Это утверждение также неверно. При смене знака функции с положительного на отрицательный в точке x₀, функция может иметь локальный минимум. Для определения точности утверждения, необходимо проверить вторую производную функции в точке x₀.

Таким образом, верными утверждениями являются только первое и второе. Надеюсь, данное объяснение позволило вам лучше понять основные концепции возрастания и убывания функции в зависимости от значения производной. Если у вас возникнут ещё вопросы, не стесняйтесь задавать.