Введите все натуральные x, при которых существуют натуральные числа y, такие что выражение xy−3x+2y=12 выполнено

Хорошо, давайте решим данную задачу.

Исходное уравнение: \(xy - 3x + 2y = 12\)

Для начала, приведем данное уравнение к более удобному виду.

Можно заметить, что уравнение является квадратным трехчленом относительно переменной x, а y - это просто коэффициент. Следовательно, давайте рассмотрим уравнение как квадратное относительно переменной x, считая y постоянной величиной.

Расставим уравнение по степеням x:

\(xy - 3x + 2y - 12 = 0\)

Теперь давайте применим формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}}\]

где a, b и c - коэффициенты при соответствующих степенях x.

Применяем данную формулу к нашему уравнению.

a = y, b = -3, c = 2y - 12

\[x = \frac{{-(-3) \pm \sqrt{{(-3)^2 - 4(y)(2y - 12)}}}}{{2y}}\]

\[x = \frac{{3 \pm \sqrt{{9 - 8y^2 + 48y}}}}{{2y}}\]

Теперь давайте рассмотрим условия для существования решений.

1. Во-первых, знаменатель не может быть равен нулю, следовательно, y ≠ 0.

2. Во-вторых, аргумент под корнем не может быть отрицательным, поэтому:

\[9 - 8y^2 + 48y ≥ 0\]

\[y(48 - 8y + 9) ≥ 0\]

\[y(57 - 8y) ≥ 0\]

Теперь решим неравенство:

\[y(57 - 8y) ≥ 0\]

Для этого нам нужно рассмотреть все возможные интервалы, в которых выполняется данное неравенство.

1. y > 0, 57 - 8y > 0: в этом случае оба множителя положительны, неравенство выполняется.

2. 0 < y < \(\frac{{57}}{{8}}\): в этом случае первый множитель положительный, а второй отрицательный, неравенство не выполняется.

3. y = \(\frac{{57}}{{8}}\): оба множителя равны нулю, неравенство не выполняется.

4. y < 0, 57 - 8y < 0: в этом случае оба множителя отрицательны, неравенство выполняется.

Таким образом, решением данного неравенства является интервал y > 0 объединенный со стороны y < 0.

Теперь, используя полученный интервал, найдем значения x. Подставим найденные условия в наше уравнение:

1. При y > 0:

\[
x = \frac{{3 + \sqrt{{9 - 8y^2 + 48y}}}}{{2y}}
\]

\[
x = \frac{{3 + \sqrt{{(y - 3)(57 - 8y)}}}}{{2y}}
\]

2. При y < 0:

\[
x = \frac{{3 - \sqrt{{9 - 8y^2 + 48y}}}}{{2y}}
\]

\[
x = \frac{{3 - \sqrt{{(y - 3)(57 - 8y)}}}}{{2y}}
\]

Таким образом, мы нашли решения для данной задачи. В интервале y > 0, натуральные значения x будут получены при положительных корнях, а в интервале y < 0 - при отрицательных корнях.