Вписанная окружность Трапеции АВСД имеет радиус r. Равные стороны трапеции равны 30 см, а большее основание равно

Для решения данной задачи нам понадобятся определенные формулы и свойства трапеции и окружности.

Итак, пусть радиус вписанной окружности Трапеции АВСД равен \( r \).

Чтобы найти радиус описанной окружности, воспользуемся формулой, связывающей радиусы описанной и вписанной окружностей с полупериметром трапеции:

\[ R = \frac{{ab + cd}}{{2 \sqrt{(s - a)(s - b)(s - c)(s - d)}}} \],

где \( R \) - радиус описанной окружности, \( a \), \( b \), \( c \), \( d \) - стороны трапеции, \( s \) - полупериметр трапеции.

Так как равные стороны равны 30 см, то \( a = b = 30 \) см, а большее основание равно 50 см, то есть \( c = 50 \) см. Следовательно, \( d = 30 \) см тоже.

Тогда полупериметр трапеции будет равен:

\[ s = \frac{{a + b + c + d}}{2} = \frac{{30 + 30 + 50 + 30}}{2} = 70 \text{ см} \].

Теперь подставим известные значения в формулу для радиуса описанной окружности:

\[ R = \frac{{ab + cd}}{{2 \sqrt{(s - a)(s - b)(s - c)(s - d)}}} = \frac{{30 \cdot 30 + 50 \cdot 30}}{{2 \sqrt{(70 - 30)(70 - 30)(70 - 50)(70 - 30)}}} = \frac{{900 + 1500}}{{2 \sqrt{40 \cdot 40 \cdot 20 \cdot 40}}} = \frac{{2400}}{{2 \cdot 40 \cdot 20}} = \frac{{2400}}{{1600}} = \frac{{3}}{{2}} = 1.5 \].

Итак, радиус описанной окружности \([R] = 1.5 \) см.

Для нахождения длины окружности воспользуемся формулой:

\[ L = 2 \pi R \],

где \( L \) - длина окружности, \( \pi \) - математическая константа, приближенное значение которой равно 3.14.

Подставим известное значение радиуса:

\[ L = 2 \pi R = 2 \pi \cdot 1.5 \approx 9.42 \].

Итак, длина окружности \([L] \approx 9.42 \) см.

Для нахождения площади круга воспользуемся формулой:

\[ S = \pi \cdot R^2 \],

где \( S \) - площадь круга.

Подставим известное значение радиуса:

\[ S = \pi \cdot R^2 = \pi \cdot 1.5^2 = \pi \cdot 2.25 \approx 7.07 \].

Итак, площадь круга \([S] \approx 7.07 \) см².

Трапеция - это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Для нахождения площади трапеции воспользуемся формулой:

\[ S_{\text{тр}} = \frac{{(a + c)h}}{2} \],

где \( S_{\text{тр}} \) - площадь трапеции, \( a \) и \( c \) - основания трапеции, \( h \) - высота трапеции.

Высота трапеции представляет собой расстояние между параллельными сторонами. Для нахождения высоты воспользуемся теоремой Пифагора:

\[ h = \sqrt{a^2 - \left( \frac{{c - a}}{2}\right)^2} \].

Подставим известные значения в формулу:

\[ h = \sqrt{30^2 - \left( \frac{{50 - 30}}{2}\right)^2} = \sqrt{900 - \left( \frac{{20}}{2}\right)^2} = \sqrt{900 - 100} = \sqrt{800} = 20\sqrt{2} \]

Теперь найдем площадь трапеции:

\[ S_{\text{тр}} = \frac{{(a + c)h}}{2} = \frac{{(30 + 50) \cdot 20\sqrt{2}}}{2} = \frac{{80 \cdot 20\sqrt{2}}}{2} = 800\sqrt{2} \].

Итак, площадь трапеции \([S_{\text{тр}}] = 800\sqrt{2} \) см².

Для нахождения периметра трапеции сложим длины всех сторон:

\[ P_{\text{тр}} = a + b + c + d = 30 + 30 + 50 + 30 = 140 \].

Итак, периметр трапеции \([P_{\text{тр}}] = 140 \) см.