1. Как можно доказать, что площадь развертки пирамиды, основанием которой является квадрат со стороной 5 см и боковое

Для доказательства площади развертки пирамиды мы можем разделить ее на несколько геометрических фигур и рассмотреть каждую из них отдельно.

1. Во-первых, рассмотрим основание пирамиды. Указано, что основание является квадратом со стороной 5 см. Площадь квадрата можно найти, умножив длину его стороны на саму себя: \(S_{\text{осн}} = 5 \, \text{см} \times 5 \, \text{см} = 25 \, \text{см}^2\).

2. Во-вторых, рассмотрим боковую поверхность пирамиды. Боковое ребро пирамиды равно 7 см. Для того чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды, нам нужно найти площадь треугольника, образованного одним из боковых ребер пирамиды и двумя ребрами основания.

Мы можем разбить треугольник на два прямоугольных треугольника. Один из этих треугольников будет прямоугольным треугольником со сторонами 5 см, 7 см и гипотенузой равной боковому ребру пирамиды.

Используем теорему Пифагора для нахождения длины гипотенузы прямоугольного треугольника: \(7^2 = 5^2 + a^2\), где \(a\) - один из катетов прямоугольного треугольника.

Решаем уравнение: \(49 - 25 = a^2\), \(a^2 = 24\), \(a = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}\).

Площадь прямоугольного треугольника можно найти, используя формулу для площади треугольника: \(S_{\text{тр}} = \frac{1}{2} \times 5 \, \text{см} \times 2 \sqrt{6} \, \text{см} = 5 \sqrt{6} \, \text{см}^2\).

Так как у нас есть два таких треугольника, то площадь боковой поверхности пирамиды будет: \(S_{\text{бп}} = 2 \times 5 \sqrt{6} \, \text{см}^2 = 10 \sqrt{6} \, \text{см}^2\).

3. Теперь, чтобы получить общую площадь развертки пирамиды, мы просуммируем площадь основания и площадь боковой поверхности: \(S_{\text{разв}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бп}} = 25 \, \text{см}^2 + 10 \sqrt{6} \, \text{см}^2\).

Окончательно, это равно \(S_{\text{разв}} = 25 + 10 \sqrt{6} \, \text{см}^2\).

Таким образом, мы доказали, что площадь развертки пирамиды, основанием которой является квадрат со стороной 5 см и боковое ребро равно 7 см, составляет \(25 + 10 \sqrt{6} \, \text{см}^2\).