Возможность того, что среди 6 дилеров несут убытки: а) Ровно 4 дилера будут понести убытки. б) Как минимум 5 дилеров

Давайте рассмотрим данную задачу по очереди:

а) Вероятность того, что ровно 4 дилера понесут убытки. Для этого нам необходимо выбрать 4 дилера из общего количества (6) и посчитать вероятность того, что они понесут убытки, а оставшиеся 2 дилера - прибыль.

Чтобы посчитать вероятность, мы используем комбинаторику. Количество способов выбрать 4 дилера из 6 выражается формулой C(6,4), где C - обозначение для биномиального коэффициента. Эту формулу можно записать следующим образом:

\[C(6,4) = \frac{6!}{4!(6-4)!}\]

где ! обозначает факториал. Подставим значения:

\[C(6,4) = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{4 \times 3 \times 2 \times 2 \times 1} = 15\]

Таким образом, есть 15 способов выбрать 4 дилера, которые понесут убытки из 6 дилеров. Теперь нам нужно учесть вероятность того, что выбранные дилеры понесут убытки, а оставшиеся 2 получат прибыль. Предположим, что вероятность убытков для каждого дилера составляет \(p\), а вероятность прибыли - \(q\) (где \(q = 1 - p\)).

Таким образом, для каждого способа выбрать 4 дилера, вероятность того, что выбранные дилеры понесут убытки, а оставшиеся 2 - прибыль, будет выражаться формулой:

\(p^4 \times q^2\)

Поскольку выбрать каждый из 4 дилеров, понесущих убытки, можно независимо от остальных, мы просто перемножаем вероятности. Аналогично, для оставшихся 2 дилеров, получающих прибыль, будем использовать вероятность прибыли \(q\) в соответствующей степени 2 (так как их выбор также независим от выбора остальных).

Таким образом, вероятность этого исхода будет равна:

\(15 \times p^4 \times q^2\)

б) Для определения вероятности, что как минимум 5 дилеров понесут убытки, мы можем рассмотреть два варианта: только 5 дилеров понесут убытки и все 6 дилеров понесут убытки.

- Вероятность того, что только 5 дилеров понесут убытки:
Это означает, что нужно выбрать 5 дилеров из 6 и посчитать вероятность, что именно они понесут убытки, а оставшийся 1 получит прибыль. Используя ту же формулу для биномиального коэффициента, получаем:
\[C(6,5) = \frac{6!}{5!(6-5)!} = 6\]
Аналогично предыдущему случаю, вероятность этого исхода будет равна:
\[6 \times p^5 \times q\]

- Вероятность того, что все 6 дилеров понесут убытки:
Вероятность этого исхода будет равна:
\[p^6\]

Теперь мы можем объединить оба случая, сложив вероятности:
\[6 \times p^5 \times q + p^6\]

в) Не более 4 дилеров понесут убытки. Это означает, что мы рассматриваем вероятности для 0, 1, 2, 3 и 4 дилеров, которые понесут убытки, и суммируем их. Формально это можно записать следующим образом:

\[P(\text{не более 4 дилеров}): P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4)\]

Для каждого отдельного количества дилеров есть специфическая формула, которую можно построить на той же логике, которую мы использовали в предыдущих случаях. Представлю каждый шаг по отдельности:

- Вероятность, что ни один дилер не понесет убытки (0 дилеров):
Вероятность этого исхода будет равна:
\[q^6\]

- Вероятность, что только 1 дилер понесет убытки:
Нужно выбрать 1 дилера из 6 и посчитать вероятность, что он понесет убытки, а остальные - прибыль. Используя формулу для биномиального коэффициента, получаем:
\[C(6,1) = \frac{6!}{1!(6-1)!} = 6\]
Вероятность этого исхода будет равна:
\[6 \times p \times q^5\]

- Вероятность, что 2 дилера понесут убытки:
Аналогично предыдущему случаю, выбираем 2 дилера из 6 и вычисляем вероятность:
\[C(6,2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = 15\]
Вероятность:
\[15 \times p^2 \times q^4\]

- Вероятность, что 3 дилера понесут убытки:
Аналогично:
\[C(6,3) = \frac{6!}{3!(6-3)!} = 20\]
Вероятность:
\[20 \times p^3 \times q^3\]

- Вероятность, что 4 дилера понесут убытки:
Аналогично:
\[C(6,4) = \frac{6!}{4!(6-4)!} = 15\]
Вероятность:
\[15 \times p^4 \times q^2\]

Теперь сложим все эти вероятности, чтобы получить вероятность для данного случая.

\[P(\text{не более 4 дилеров}) = q^6 + 6 \times p \times q^5 + 15 \times p^2 \times q^4 + 20 \times p^3 \times q^3 + 15 \times p^4 \times q^2\]

Вот таким образом мы можем решить задачу и определить вероятности для каждого исхода. Помните, что я подробно описал каждую формулу, чтобы объяснить процесс, но в дальнейшем можно использовать эти формулы для конкретных числовых значений вероятностей \(p\) и \(q\), чтобы получить окончательные значения вероятностей.