Возможность того, что среди 6 дилеров несут убытки: а) Ровно 4 дилера будут понести убытки. б) Как минимум 5 дилеров

Давайте рассмотрим данную задачу по очереди:

а) Вероятность того, что ровно 4 дилера понесут убытки. Для этого нам необходимо выбрать 4 дилера из общего количества (6) и посчитать вероятность того, что они понесут убытки, а оставшиеся 2 дилера - прибыль.

Чтобы посчитать вероятность, мы используем комбинаторику. Количество способов выбрать 4 дилера из 6 выражается формулой C(6,4), где C - обозначение для биномиального коэффициента. Эту формулу можно записать следующим образом:

$$C(6,4)=\frac{6!}{4!(6-4)!}$$

где ! обозначает факториал. Подставим значения:

$$C(6,4)=\frac{6!}{4!2!}=\frac{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}{4\times 3\times 2\times 2\times 1}=15$$

Таким образом, есть 15 способов выбрать 4 дилера, которые понесут убытки из 6 дилеров. Теперь нам нужно учесть вероятность того, что выбранные дилеры понесут убытки, а оставшиеся 2 получат прибыль. Предположим, что вероятность убытков для каждого дилера составляет $p$, а вероятность прибыли - $q$ (где $q=1-p$).

Таким образом, для каждого способа выбрать 4 дилера, вероятность того, что выбранные дилеры понесут убытки, а оставшиеся 2 - прибыль, будет выражаться формулой:

$p^4\times q^2$

Поскольку выбрать каждый из 4 дилеров, понесущих убытки, можно независимо от остальных, мы просто перемножаем вероятности. Аналогично, для оставшихся 2 дилеров, получающих прибыль, будем использовать вероятность прибыли $q$ в соответствующей степени 2 (так как их выбор также независим от выбора остальных).

Таким образом, вероятность этого исхода будет равна:

$15\times p^4\times q^2$

б) Для определения вероятности, что как минимум 5 дилеров понесут убытки, мы можем рассмотреть два варианта: только 5 дилеров понесут убытки и все 6 дилеров понесут убытки.

- Вероятность того, что только 5 дилеров понесут убытки:
Это означает, что нужно выбрать 5 дилеров из 6 и посчитать вероятность, что именно они понесут убытки, а оставшийся 1 получит прибыль. Используя ту же формулу для биномиального коэффициента, получаем:
$$C(6,5)=\frac{6!}{5!(6-5)!}=6$$
Аналогично предыдущему случаю, вероятность этого исхода будет равна:
$$6\times p^5\times q$$

- Вероятность того, что все 6 дилеров понесут убытки:
Вероятность этого исхода будет равна:
$$p^6$$

Теперь мы можем объединить оба случая, сложив вероятности:
$$6\times p^5\times q+p^6$$

в) Не более 4 дилеров понесут убытки. Это означает, что мы рассматриваем вероятности для 0, 1, 2, 3 и 4 дилеров, которые понесут убытки, и суммируем их. Формально это можно записать следующим образом:

$$P(\text{не более 4 дилеров}):P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4)$$

Для каждого отдельного количества дилеров есть специфическая формула, которую можно построить на той же логике, которую мы использовали в предыдущих случаях. Представлю каждый шаг по отдельности:

- Вероятность, что ни один дилер не понесет убытки (0 дилеров):
Вероятность этого исхода будет равна:
$$q^6$$

- Вероятность, что только 1 дилер понесет убытки:
Нужно выбрать 1 дилера из 6 и посчитать вероятность, что он понесет убытки, а остальные - прибыль. Используя формулу для биномиального коэффициента, получаем:
$$C(6,1)=\frac{6!}{1!(6-1)!}=6$$
Вероятность этого исхода будет равна:
$$6\times p\times q^5$$

- Вероятность, что 2 дилера понесут убытки:
Аналогично предыдущему случаю, выбираем 2 дилера из 6 и вычисляем вероятность:
$$C(6,2)=\frac{6!}{2!(6-2)!}=15$$
Вероятность:
$$15\times p^2\times q^4$$

- Вероятность, что 3 дилера понесут убытки:
Аналогично:
$$C(6,3)=\frac{6!}{3!(6-3)!}=20$$
Вероятность:
$$20\times p^3\times q^3$$

- Вероятность, что 4 дилера понесут убытки:
Аналогично:
$$C(6,4)=\frac{6!}{4!(6-4)!}=15$$
Вероятность:
$$15\times p^4\times q^2$$

Теперь сложим все эти вероятности, чтобы получить вероятность для данного случая.

$$P(\text{не более 4 дилеров})=q^6+6\times p\times q^5+15\times p^2\times q^4+20\times p^3\times q^3+15\times p^4\times q^2$$

Вот таким образом мы можем решить задачу и определить вероятности для каждого исхода. Помните, что я подробно описал каждую формулу, чтобы объяснить процесс, но в дальнейшем можно использовать эти формулы для конкретных числовых значений вероятностей $p$ и $q$, чтобы получить окончательные значения вероятностей.