Какова вероятность того, что все мужчины попадут в одну из двух подгруппы, когда в студенческой группе из 18 человек

Эта задача относится к теории вероятностей и решается с использованием комбинаторики. Давайте разберемся пошагово.

Шаг 1: Посчитаем количество всех возможных способов разделить 18 человек на две подгруппы.
Используем формулу для сочетания: \(C_n^k = \frac{{n!}}{{k!(n-k)!}}\), где \(n\) - общее число элементов, а \(k\) - число элементов в подгруппе.

В нашем случае, мы имеем 18 человек и хотим разделить их на две подгруппы. Таким образом,
\[C_{18}^9 = \frac{{18!}}{{9! \cdot (18-9)!}}\]

Шаг 2: Определим количество способов, которыми можно разделить 4 мужчин на две подгруппы.
Аналогично, используем формулу для сочетания:
\[C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4\]

Шаг 3: Вычислим вероятность, что все мужчины попадут в одну из двух подгрупп.
Для этого нужно разделить число способов, при которых все 4 мужчины находятся в одной из двух подгрупп, на общее количество способов, о которых мы говорили выше.

Искомая вероятность равна:
\[\frac{{C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4}}{{C_{18}^9}}\]

Теперь, давайте вычислим все значения:

\(C_{18}^9 = \frac{{18!}}{{9! \cdot (18-9)!}} = \frac{{18!}}{{9! \cdot 9!}} = \frac{{18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}}{{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}} = 48620\)

\(C_4^0 = \frac{{4!}}{{0! \cdot (4-0)!}} = \frac{{4!}}{{0! \cdot 4!}} = \frac{{1}}{{1}} = 1\)
\(C_4^1 = \frac{{4!}}{{1! \cdot (4-1)!}} = \frac{{4!}}{{1! \cdot 3!}} = \frac{{4}}{{1}} = 4\)
\(C_4^2 = \frac{{4!}}{{2! \cdot (4-2)!}} = \frac{{4!}}{{2! \cdot 2!}} = \frac{{6}}{{2}} = 3\)
\(C_4^3 = \frac{{4!}}{{3! \cdot (4-3)!}} = \frac{{4!}}{{3! \cdot 1!}} = \frac{{4}}{{1}} = 4\)
\(C_4^4 = \frac{{4!}}{{4! \cdot (4-4)!}} = \frac{{4!}}{{4! \cdot 0!}} = \frac{{1}}{{1}} = 1\)

Теперь, подставим значения в формулу для вероятности:
\[\frac{{C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4}}{{C_{18}^9}} = \frac{{1 + 4 + 3 + 4 + 1}}{{48620}} = \frac{{13}}{{48620}}\]

Значит, вероятность того, что все мужчины попадут в одну из двух подгрупп, составляет \(\frac{{13}}{{48620}}\) или, приближенно, около \(0.000267\) или \(0.0267\%.