Возьмем окружность с центром в точке O и рассмотрим касательную AN и хорды СА. Известно, что дуга АС равна 120 градусам

Предлагаю начать с поиска меры угла АОС.

Заметим, что угол АОС образован хордой СА и касательной AN, и поэтому он является углом между касательной и хордой, выходящей из одной точки на окружности. Зная данное свойство, мы можем заключить, что меры угла АОС и угла САN равны.

Теперь рассмотрим угол АВС. Мы знаем, что отношение дуги СВ к дуге ВА составляет 5:3. Дуга ВА является дополнением дуги ВВ, так как они обе составляют окружность. Поэтому, дуга ВВ равна \(180 - 120 = 60\) градусам. Зная это, мы можем определить дугу СВ, так как отношение дуг СВ к дуге ВА равно 5:3. У нас есть два неизвестных угла - угол между дугой АВ и дугой ВВ (обозначим его как угол А) и угол между дугой СВ и дугой ВВ (обозначим его как угол В).

Рассмотрим дугу СВ. Мы знаем, что дуга ВВ равна 60 градусам, поэтому дуга СВ равна \(5 \cdot \frac{60}{3} = 100\) градусам.

Теперь мы можем найти угол между дугой СВ и дугой ВВ, который равен \(180 - 100 = 80\) градусам. Обозначим этот угол как угол В.

Зная меру угла между дугой АВ и дугой ВВ (угол А) и меру угла между дугой СВ и дугой ВВ (угол В), мы можем вычислить меру угла АВС, используя свойство, что угол на окружности, охватывающий дугу, равен половине меры дуги.

Угол АВС равен \(\frac{1}{2} \cdot (\text{угол А} + \text{угол В}) = \frac{1}{2} \cdot (60 + 80) = 70\) градусов.

Теперь осталось найти меры углов ВАО и АВО. Мы знаем, что дуга ВС меньше 180 градусов, что означает, что угол между хордой ВС и хордой ВА (угол ВАО) является остроугольным. Таким образом, мера угла ВАО равна половине меры дуги ВС (половина от \(100\)) и составляет \(50\) градусов.

Угол АВО является суплементарным к углу ВАО, поэтому его мера равна \(180 - 50 = 130\) градусов.

Также, поскольку дуга АВ является дополнением к дуге ВВ, ее мера равна \(180 - 60 = 120\) градусов.

Итак, результаты:
\[\text{угол АОС} = \text{угол САN}\]
\[\text{угол АВС} = 70\]
\[\text{угол ВАО} = 50\]
\[\text{угол АВО} = 130\]
\[\text{дуга АВ} = 120\]

Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.