Восьмой класс. Покажите, что расстояние между серединами диагоналей четырехугольника равно половине одной

Для того чтобы показать, что расстояние между серединами диагоналей четырехугольника равно половине одной из его сторон, мы можем использовать свойство параллелограмма.

Давайте рассмотрим четырехугольник ABCD, где A и C - середины диагоналей, а AB и CD - его стороны.

Согласно данной задаче, у нас есть прямая линия, которая проходит через середины диагоналей и образует углы 50° и 80° со сторонами четырехугольника.

Посмотрим на треугольник ABD. Так как AD - диагональ параллелограмма и точка E - середина диагонали, то AE будет равно половине AD, то есть AE = 1/2 AD. Аналогично, EC = 1/2 CD.

Теперь рассмотрим треугольник AEC. Так как углы BAE и ECD - вертикальные углы, они равны 50° и 80° соответственно. Также из условия задачи известно, что угол AEC есть 180° - (50° + 80°) = 50°.

Таким образом, у нас есть два равных угла (50°) и один общий угол (50°) в треугольнике AEC. Следовательно, треугольник AEC подобен треугольнику ABD по двум углам.

Теперь, используя свойство подобных треугольников, мы можем сказать, что отношение длин сторон треугольников AEC и ABD равно отношению длин соответствующих сторон.

То есть, AE/AB = EC/BD = AC/AD.

Мы уже знаем, что AE = 1/2 AD и EC = 1/2 CD. Подставляя это в уравнение, получим:

1/2 AD / AB = 1/2 CD / BD = AC / AD.

Так как AD = 2 AB (так как середина диагонали является точкой пересечения диагоналей, и треугольник ABD является прямоугольным), то уравнение преобразуется к следующему виду:

1/2 = 1/2 (CD / BD) = AC / 2 AB.

Отсюда можно сделать вывод, что AC = AB. Итак, расстояние между серединами диагоналей четырехугольника равно половине одной из его сторон.