Восьмой класс. Докажите, что расстояние между серединами диагоналей четырехугольника равно половине одной

Хорошо, рассмотрим задачу.

Пусть ABCD - четырехугольник, где AB, BC, CD и DA являются его сторонами. Мы будем обозначать точки, где диагонали пересекаются, точками E и F, а точками M и N - середины диагоналей AC и BD соответственно.

Для начала нам понадобятся некоторые факты о четырехугольнике, которые помогут нам решить задачу.

1. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются в точке, деля ее пополам, то эта точка является серединой обеих диагоналей. То есть, точка M - середина диагонали AC и BD одновременно.

2. Диагонали, которые делятся пополам, делятся пополам и по своим продолжениям. То есть, диагонали EF и MN также разделяются пополам.

Теперь вернемся к самой задаче.

Мы знаем, что прямая EF, проходящая через середины диагоналей четырехугольника, образует углы 50° и 80° с его сторонами. Давайте нарисуем прямую EF и проведем перпендикуляры к сторонам четырехугольника из точек E и F.

\[
\begin{array}{cccccc}
& & E & & F & \\
& & \downarrow & & \downarrow & \\
A & - & - & - & - & B \\
| & & & & & | \\
| & & & & & | \\
M & - & - & - & - & N \\
| & & & & & | \\
| & & & & & | \\
D & - & - & - & - & C
\end{array}
\]

Мы знаем, что прямая EF делит стороны AB и CD на две равные части, так как проходит через их середины. То есть, длина отрезков AE, EB, CF и FD равна. Также, по факту 1, мы знаем, что точка M является серединой диагоналей AC и BD. Значит, отрезки AM и CM, а также отрезки BM и DM также равны.

Теперь нам осталось доказать, что отрезки EN и FN равны. Для этого воспользуемся фактом 2.

Мы знаем, что прямая EF делит диагональ AC пополам. Значит, отрезки AE и CE должны быть равны. Также, прямая EF делит диагональ BD пополам. Значит, отрезки BF и DF также должны быть равны. Теперь смотрим на точку M, которая является серединой диагоналей AC и BD. Значит, отрезки AM и CM равны, а BM и DM также равны. По факту 2, это означает, что отрезки EN и FN тоже они должны быть равны.

Таким образом, мы установили, что отрезки AE, CE, BF и DF равны, и отрезки EN и FN тоже равны. Но это значит, что четырехугольник ABCD является параллелограммом с равными сторонами. В параллелограммах диагонали пересекаются пополам, поэтому отрезок MN будет равен половине одной из его сторон.

Таким образом, мы убедились, что расстояние между серединами диагоналей четырехугольника равно половине одной из его сторон.