Вопрос: Сколько целых чисел в диапазоне от 1 до 250+k делятся на 4+k или на 3? Значение

Для решения этой задачи, мы можем использовать принцип включений-исключений.

Для начала, нам нужно определить, сколько чисел в диапазоне от 1 до \(250+k\) делятся на 4+k, сколько чисел делятся на 3, и сколько чисел делятся и на 4+k, и на 3.

А теперь, пошагово разберемся со всеми этими значениями:

1. Числа, делящиеся на 4+k:
Чтобы определить, сколько чисел в диапазоне от 1 до \(250+k\) делятся на 4+k, нам нужно вычислить разность между наибольшим и наименьшим числами, делящимися на 4+k.
Минимальное число, делящееся на 4+k, в диапазоне от 1 до \(250+k\), будет \(4+k\) (так как 1 не делится на \(4+k\)).
Чтобы найти наибольшее число, делящееся на 4+k, мы должны найти наибольшее \(n\), такое что \(n \leq 250+k\) и \(n\) делится на \(4+k\).
Наибольшее число, делящееся на 4+k, в этом диапазоне будет \(250+k - (250+k) \% (4+k)\). (Здесь \(\%\) обозначает операцию остатка от деления.)
Теперь мы можем вычислить количество чисел, делящихся на 4+k, в диапазоне от 1 до \(250+k\), используя формулу:
\[\frac{{(250+k) - (4+k)}}{{4+k}} + 1\].

2. Числа, делящиеся на 3:
Аналогично, чтобы определить, сколько чисел в диапазоне от 1 до \(250+k\) делятся на 3, мы можем разделить разность между наибольшим и наименьшим числами, делящимися на 3, на 3.
Минимальное число, делящееся на 3, в этом диапазоне будет 3.
Чтобы найти наибольшее число, делящееся на 3, мы должны найти наибольшее \(n\), такое что \(n \leq 250+k\) и \(n\) делится на 3.
Наибольшее число, делящееся на 3, в этом диапазоне будет \(250+k - (250+k) \% 3\).
Поэтому количество чисел, делящихся на 3, в диапазоне от 1 до \(250+k\), равно:
\[\frac{{(250+k) - (250+k) \% 3 - 3}}{3} + 1\].

3. Числа, делящиеся и на 4+k, и на 3:
Чтобы определить количество чисел, делящихся и на 4+k, и на 3, нам нужно найти количество чисел в диапазоне от 1 до \(250+k\), делящихся на их наименьшее общее кратное (НОК) 4+k и 3.
НОК(4+k, 3) можно вычислить как \(\frac{{(4+k) \cdot 3}}{{\text{{НОД}}(4+k, 3)}}\), где НОД(4+k, 3) - наибольший общий делитель чисел 4+k и 3.
НОД(4+k, 3) равен 1, так как 4+k и 3 взаимно простые числа.
Поэтому НОК(4+k, 3) равен \(3 \cdot (4+k)\).
Число чисел, делящихся и на 4+k, и на 3, в диапазоне от 1 до \(250+k\), будет равно:
\[\frac{{(250+k) - (250+k) \% (3 \cdot (4+k)))}}{{3 \cdot (4+k)}}\].

Теперь, чтобы найти количество чисел, делящихся на 4+k или на 3, в диапазоне от 1 до \(250+k\), мы можем использовать принцип включений-исключений.
Согласно принципу включений-исключений, количество чисел, делящихся на 4+k или на 3, в этом диапазоне, будет равно:
(количество чисел, делящихся на 4+k) + (количество чисел, делящихся на 3) - (количество чисел, делящихся и на 4+k, и на 3).

Обоснуем на основе этих вычислений:
Количество чисел, делящихся и на 4+k, и на 3, мы вычислили в пункте 3.
Количество чисел, делящихся на 4+k, мы получили в пункте 1.
Количество чисел, делящихся на 3, мы получили в пункте 2.

Теперь, подставляя вычисления в формулу принципа включений-исключений, получим окончательный ответ:

\[(\frac{{(250+k) - (4+k)}}{{4+k}} + 1) + (\frac{{(250+k) - (250+k) \% 3 - 3}}{3} + 1) - (\frac{{(250+k) - (250+k) \% (3 \cdot (4+k))}}{{3 \cdot (4+k)}})\]