Во всех допустимых значениях аргумента, докажите, что производная данной функции принимает положительные значения

Хорошо, рассмотрим задачу.

1) Для начала найдем производную заданной функции $y$:
$$y"=(3x^2+1)\cdot (2x)+5$$

2) Теперь рассмотрим предложенные выражения и выберем одно, которое покажет, что производная функции всегда принимает положительные значения при всех допустимых значениях аргумента.

Выражение (1) - "Так как $14x^3+7x\ge 0$, то и $42x^2+7>0$, $x\in R$" - не подходит, поскольку неравенство $14x^3+7x\ge 0$ не обязательно приводит к неравенству $42x^2+7>0$.

Выражение (2) - "Так как $14x^3\ge 0$, то и $42x^2+7>0$" - также неправильное. Неравенство $14x^3\ge 0$ говорит только о том, что $14x^3$ неотрицательно, но не дает информации о знаке $42x^2+7$.

Выражение (3) - "Так как $7x\ge 0$, то и $42x^2+7>0$" - неверное. Неравенство $7x\ge 0$ говорит только о том, что $7x$ неотрицательно, но снова не дает информации о знаке $42x^2+7$.

Окончательно, остается только выражение (4) - "Так как $x^2\ge 0$, то и $x^2>-742$, $x\in R$". Это правильный вывод, поскольку квадрат $x^2$ всегда неотрицательный, что означает, что $x^2>-742$ для любого значения $x$.

3) В процессе доказательства мы использовали следующие формулы:

- Производная функции $y$ - $y"=(3x^2+1)\cdot (2x)+5$.
- Неравенство $14x^3+7x\ge 0$ - используется в выражении (1), но не подходит в данном случае.
- Неравенство $14x^3\ge 0$ - используется в выражении (2), но также не подходит.
- Неравенство $7x\ge 0$ - используется в выражении (3), но также не подходит.
- Неравенство $x^2\ge 0$ - используется в выражении (4) и является основой для доказательства, что производная принимает положительные значения.

Надеюсь, это помогло вам понять процесс доказательства. Если у вас возникли еще вопросы, буду рад помочь!