Во всех допустимых значениях аргумента, докажите, что производная данной функции принимает положительные значения

Хорошо, рассмотрим задачу.

1) Для начала найдем производную заданной функции \(y\):
\[y" = (3x^2 + 1) \cdot (2x) + 5\]

2) Теперь рассмотрим предложенные выражения и выберем одно, которое покажет, что производная функции всегда принимает положительные значения при всех допустимых значениях аргумента.

Выражение (1) - "Так как \(14x^3 + 7x \geq 0\), то и \(42x^2 + 7 > 0\), \(x \in R\)" - не подходит, поскольку неравенство \(14x^3 + 7x \geq 0\) не обязательно приводит к неравенству \(42x^2 + 7 > 0\).

Выражение (2) - "Так как \(14x^3 \geq 0\), то и \(42x^2 + 7 > 0\)" - также неправильное. Неравенство \(14x^3 \geq 0\) говорит только о том, что \(14x^3\) неотрицательно, но не дает информации о знаке \(42x^2 + 7\).

Выражение (3) - "Так как \(7x \geq 0\), то и \(42x^2 + 7 > 0\)" - неверное. Неравенство \(7x \geq 0\) говорит только о том, что \(7x\) неотрицательно, но снова не дает информации о знаке \(42x^2 + 7\).

Окончательно, остается только выражение (4) - "Так как \(x^2 \geq 0\), то и \(x^2 > -742\), \(x \in R\)". Это правильный вывод, поскольку квадрат \(x^2\) всегда неотрицательный, что означает, что \(x^2 > -742\) для любого значения \(x\).

3) В процессе доказательства мы использовали следующие формулы:

- Производная функции \(y\) - \(y" = (3x^2 + 1) \cdot (2x) + 5\).
- Неравенство \(14x^3 + 7x \geq 0\) - используется в выражении (1), но не подходит в данном случае.
- Неравенство \(14x^3 \geq 0\) - используется в выражении (2), но также не подходит.
- Неравенство \(7x \geq 0\) - используется в выражении (3), но также не подходит.
- Неравенство \(x^2 \geq 0\) - используется в выражении (4) и является основой для доказательства, что производная принимает положительные значения.

Надеюсь, это помогло вам понять процесс доказательства. Если у вас возникли еще вопросы, буду рад помочь!