Какая будет каноническая запись для частного при делении многочлена h(x) = x^3+kx^2-x-6 на двучлен (x-3)? Какие корни

Для начала, нам нужно найти частное при делении многочлена h(x) на двучлен (x-3). Для этого мы можем использовать метод долгого деления.

Шаг 1: Расположите многочлены в убывающем порядке степеней x.
x^3 + kx^2 - x - 6
-----------------
(x - 3) | x^3 + kx^2 - x - 6

Шаг 2: Разделим первый член x^3 на первый член x, что даст нам x^2.
x^2
-----------------
(x - 3) | x^3 + kx^2 - x - 6

Шаг 3: Умножим двучлен x-3 на полученный результат x^2 и вычтем этот результат из исходного многочлена.
x^2 + 3(x - 3) = x^2 + 3x - 9
x^2 + 3x - 9
---------------
(x - 3) | x^3 + kx^2 - x - 6

Шаг 4: Повторим шаги 2 и 3 с оставшимися членами многочлена.
x^2 + 3x - 9
-----------------
(x - 3) | x^3 + kx^2 - x - 6

x - 3
---------------
(x - 3) | x^3 + kx^2 - x - 6

Шаг 5: Продолжаем процесс деления до тех пор, пока не получим остаток равный нулю или степень остатка меньше степени делителя.

В итоге, получим частное и остаток от деления. Каноническая запись для частного будет выглядеть следующим образом:
\(x^2 + 3x - 9\)

Теперь перейдем к второй части задачи, а именно, определению корней и факторизации многочлена \(h(x)\).

Рассмотрим многочлен \(x^3 + kx^2 - x - 6\). Чтобы определить его корни, мы можем воспользоваться теоремой о целых корнях (теоремой Рацио).

Согласно этой теореме, все рациональные корни многочлена \(h(x)\) имеют вид \(\frac{p}{q}\), где \(p\) - делитель свободного члена \(-6\), а \(q\) - делитель старшего коэффициента \(1\).

Исследуем делители свободного члена (-6): \(1, 2, 3, 6\), а также делители старшего коэффициента \(1\).

Проверим каждый из этих делителей, подставив их в многочлен \(h(x)\):
1) Подставим \(x = 1\):
\(1^3 + k \cdot 1^2 - 1 - 6 = 1 + k - 1 - 6 = k - 6\)
Неизвестное значение \(k\) не определилося, поэтому \(x = 1\) не является корнем.

2) Подставим \(x = 2\):
\(2^3 + k \cdot 2^2 - 2 - 6 = 8 + 4k - 2 - 6 = 4k\)
Так как \(4k\) не равно нулю, \(x = 2\) не является корнем.

3) Подставим \(x = 3\):
\(3^3 + k \cdot 3^2 - 3 - 6 = 27 + 9k - 3 - 6 = 9k + 18 = 9(k + 2)\)
Когда \(k = -2\), получим \(9(-2 + 2) = 0\), то есть \(x = 3\) является корнем.

4) Подставим \(x = 6\):
\(6^3 + k \cdot 6^2 - 6 - 6 = 216 + 36k - 12 - 6 = 36k + 198\)
Так как \(36k + 198\) не равно нулю, \(x = 6\) не является корнем.

Итак, мы нашли только один рациональный корень \(x = 3\) для многочлена \(h(x)\).

Теперь перейдем к разложению многочлена \(h(x)\) на множители, используя найденный корень \(x = 3\).

Используя полученный частный многочлен \(x^2 + 3x - 9\), мы можем записать исходный многочлен в виде:
\(h(x) = (x - 3)(x^2 + 3x - 9)\)

Таким образом, каноническая запись многочлена \(h(x)\) при делении на двучлен \(x-3\) будет:
\(h(x) = (x - 3)(x^2 + 3x - 9)\)

Мы рассмотрели, как найти частное при делении многочлена на двучлен, определить корни многочлена и разложить его на множители. Я надеюсь, что это объяснение поможет вам лучше понять и решить данную задачу. Если у вас появятся еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!