Во сколько раз ускорение силы тяжести на Солнце превышает ускорение силы тяжести на Земле, если радиус Солнца в

Для решения данной задачи, нам необходимо сравнить ускорение силы тяжести на Солнце (\(а_{\text{Солнце}}\)) и на Земле (\(а_{\text{Земля}}\)).

Дано:
Радиус Солнца (\(R_{\text{Солнце}}\)) = 108 радиусов Земли (\(R_{\text{Земля}}\))
Средняя плотность Солнца (\(\rho_{\text{Солнце}}\)) = 0,25 от плотности Земли (\(\rho_{\text{Земля}}\))

1. Сначала найдем ускорение силы тяжести на Земле. Воспользуемся формулой:
\[а_{\text{Земля}} = \frac{{G \cdot M_{\text{Земля}}}}{{R_{\text{Земля}}^2}}\]
Где \(G\) - гравитационная постоянная, \(М_{\text{Земля}}\) - масса Земли.

2. Теперь найдем ускорение силы тяжести на Солнце, используя ту же формулу:
\[а_{\text{Солнце}} = \frac{{G \cdot M_{\text{Солнце}}}}{{R_{\text{Солнце}}^2}}\]
Где \(M_{\text{Солнце}}\) - масса Солнца.

3. Нам дано, что плотность Солнца составляет 0,25 от плотности Земли (\(\rho_{\text{Солнце}} = 0,25 \cdot \rho_{\text{Земля}}\)).
Используем формулу плотности:
\(\rho = \frac{{Масса}}{{Объем}}\).
Так как масса для обоих тел неизвестна, мы можем равенство сократить и получим:
\(\frac{{M_{\text{Солнце}}}}{{V_{\text{Солнце}}}} = 0,25 \cdot \frac{{M_{\text{Земля}}}}{{V_{\text{Земля}}}}\)
где \(V_{\text{Солнце}}\) и \(V_{\text{Земля}}\) - объемы Солнца и Земли соответственно.

4. Исключим \(M_{\text{Солнце}}\) из соотношения плотностей:
\(\frac{{M_{\text{Солнце}}}}{{R_{\text{Солнце}}^3}} = 0,25 \cdot \frac{{M_{\text{Земля}}}}{{R_{\text{Земля}}^3}}\)

5. Так как \(R_{\text{Солнце}} = 108 \cdot R_{\text{Земля}}\), подставим это в уравнение:
\(\frac{{M_{\text{Солнце}}}}{{(108 \cdot R_{\text{Земля}})^3}} = 0,25 \cdot \frac{{M_{\text{Земля}}}}{{R_{\text{Земля}}^3}}\)

6. Сократим полученное уравнение:
\(\frac{{M_{\text{Солнце}}}}{{108^3 \cdot R_{\text{Земля}}^3}} = 0,25 \cdot \frac{{M_{\text{Земля}}}}{{R_{\text{Земля}}^3}}\)

7. Исключим массы \(M_{\text{Солнце}}\) и \(M_{\text{Земля}}\) из уравнения:
\(\frac{{M_{\text{Солнце}}}}{{M_{\text{Земля}}}} = 0,25 \cdot 108^3\)

8. Наконец, определим соотношение ускорений силы тяжести:
\(\frac{{а_{\text{Солнце}}}}{{а_{\text{Земля}}}} = \frac{{G \cdot M_{\text{Солнце}}}}{{R_{\text{Солнце}}^2}} \cdot \frac{{R_{\text{Земля}}^2}}{{G \cdot M_{\text{Земля}}}} = \frac{{M_{\text{Солнце}}}}{{M_{\text{Земля}}}} = 0,25 \cdot 108^3\)

После подстановки числовых значений мы получим соотношение ускорений силы тяжести на Солнце и на Земле.