Во сколько раз объем конуса, который помещается внутри правильной четырехугольной пирамиды, отличается от объёма

Чтобы понять, во сколько раз объем конуса, который помещается внутри правильной четырехугольной пирамиды, отличается от объема конуса, который окружает эту пирамиду, нам нужно сначала разобраться в формулах для вычисления объема конуса и объема пирамиды.

Формула для объема конуса выглядит следующим образом:

\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]

где \( V \) - объем конуса, \( \pi \) - число пи (приближенно равно 3.14), \( r \) - радиус основания конуса, \( h \) - высота конуса.

Формула для объема пирамиды определяется формулой:

\[ V = \frac{1}{3} \text{S} \cdot h \]

где \( V \) - объем пирамиды, \( \text{S} \) - площадь основания пирамиды, \( h \) - высота пирамиды.

У нас есть интересная задача. Мы имеем дело с правильной четырехугольной пирамидой, что означает, что все стороны основания и высота пирамиды равны между собой. Пусть \( a \) - длина стороны основания пирамиды, а \( h \) - высота пирамиды.

Объем внутреннего конуса, который помещается внутри пирамиды, можно найти, используя формулу для объема конуса. Радиус основания этого конуса будет равен половине длины стороны основания пирамиды (поскольку пирамида является правильной), а высота будет равна высоте пирамиды. Таким образом, объем внутреннего конуса будет равен:

\[ V_{\text{внутр}} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 h \]

Объем внешнего конуса, который окружает пирамиду, также можно найти, используя формулу для объема конуса. Радиус основания этого конуса будет равен половине длины стороны основания пирамиды плюс радиус основания пирамиды (поскольку конус окружает пирамиду), а высота будет равна высоте пирамиды. Таким образом, объем внешнего конуса будет равен:

\[ V_{\text{внеш}} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{a}{2}+a\right)^2 h \]

Для того чтобы найти разницу между объемом внутреннего и внешнего конуса, вычтем объем внутреннего конуса из объема внешнего конуса:

\[ V_{\text{разница}} = V_{\text{внеш}} - V_{\text{внутр}} \]

Подставим значения и упростим выражение:

\[ V_{\text{разница}} = \frac{1}{3} \pi \left(\left(\frac{a}{2}+a\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2\right) h \]

\[ V_{\text{разница}} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{9a^2}{4}\right) h \]

Теперь мы знаем разницу между объемом внутреннего и внешнего конуса в зависимости от длины стороны основания пирамиды \( a \) и высоты пирамиды \( h \). Это выражение может быть упрощено, но оно является окончательным ответом.

Однако, чтобы узнать во сколько раз объем конуса, который помещается внутри пирамиды, отличается от объема конуса, который окружает пирамиду, нам необходимо разделить объем внутреннего конуса на объем внешнего конуса:

\[ \text{Ответ} = \frac{V_{\text{внутр}}}{V_{\text{внеш}}} \]

Подставим значения в это выражение:

\[ \text{Ответ} = \frac{\frac{1}{3} \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 h}{\frac{1}{3} \pi \left(\frac{a}{2}+a\right)^2 h} \]

\[ \text{Ответ} = \frac{\left(\frac{a}{2}\right)^2}{\left(\frac{a}{2}+a\right)^2} \]

\[ \text{Ответ} = \frac{\frac{a^2}{4}}{\frac{(3a)^2}{4}} \]

\[ \text{Ответ} = \frac{a^2}{9a^2} \]

\[ \text{Ответ} = \frac{1}{9} \]

Таким образом, объем конуса, который помещается внутри правильной четырехугольной пирамиды, является примерно девяти раз меньше объема конуса, который окружает эту пирамиду.