VI. Combinatorics Form four-digit numbers from the digits 0, 1, 2, and e, without repeating the digits. Is statement

Давайте начнем с первой части задачи: нужно составить четырехзначные числа из цифр 0, 1, 2 и e, без повторения цифр. Для этого нам нужно посчитать количество возможных чисел.

У нас есть 4 варианта для первой цифры, 3 варианта для второй цифры, 2 варианта для третьей цифры и 1 вариант для четвертой цифры. Общее количество четырехзначных чисел, которые можно составить, равно произведению этих вариантов.

\[4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24.\]

Теперь перейдем ко второй части задачи. Утверждение 16 говорит, что число 1240 является наименьшим из всех возможных четырехзначных чисел. Давайте проверим, действительно ли это так.

Мы можем составить все возможные числа из заданных цифр и определить, какое из них наименьшее. Перечислим все числа в порядке возрастания:

0123, 0132, 0213, 0231, 0312, 0321,
1023, 1032, 1203, 1230, 1302, 1320,
2013, 2031, 2103, 2130, 2301, 2310,
3012, 3021, 3102, 3120, 3201, 3210.

Первое число в этом списке - 0123. Значит, утверждение 16 неверно. Число 1240 не является наименьшим из всех возможных четырехзначных чисел.

Теперь рассмотрим утверждение 17. Оно говорит, что из всех этих четырехзначных чисел ровно 6 больше 4000. Чтобы проверить это утверждение, снова пройдемся по всем возможным числам и посчитаем, сколько из них больше 4000:

0123 - меньше 4000,
0132 - меньше 4000,
0213 - меньше 4000,
0231 - меньше 4000,
0312 - меньше 4000,
0321 - меньше 4000,
1023 - меньше 4000,
1032 - меньше 4000,
1203 - меньше 4000,
1230 - меньше 4000,
1302 - меньше 4000,
1320 - меньше 4000,
2013 - больше 4000,
2031 - больше 4000,
2103 - больше 4000,
2130 - больше 4000,
2301 - больше 4000,
2310 - больше 4000,
3012 - больше 4000,
3021 - больше 4000,
3102 - больше 4000,
3120 - больше 4000,
3201 - больше 4000,
3210 - больше 4000.

Итак, из всех возможных четырехзначных чисел, ровно 6 из них больше 4000. Утверждение 17 верно.

Теперь перейдем к последней части задачи: сколько всего можно составить нечетных чисел? Для того чтобы число было нечетным, последняя цифра не может быть 0 или 2, так как они оба являются четными.

Таким образом, мы можем выбрать одну из двух нечетных цифр 1 или e для последней позиции.

Для оставшихся трех позиций у нас остаются 3 цифры - 0, 1 и 2. Эти цифры могут повторяться или не повторяться в числе.

Теперь мы можем посчитать количество всех возможных нечетных чисел:

Для первой позиции у нас осталось 3 варианта (0, 1 и 2).
Для второй позиции у нас осталось 2 варианта (0, 1 и 2, не повторяющиеся с первой позицией).
Для третьей позиции у нас остался 1 вариант (0, 1 и 2, не повторяющиеся с первой и второй позициями).
Для последней позиции у нас осталось 2 варианта (1 и e).

Таким образом, общее количество возможных нечетных чисел равно произведению этих вариантов:

\[3 \times 2 \times 1 \times 2 = 12.\]

Итак, всего можно составить 12 нечетных четырехзначных чисел.

Надеюсь, объяснение было понятным и полным. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!