Верно ли равенство (а⋃в) х с =(a х в) ⋃ (в х с) выполняется для множеств а =(3,5,7), в=(7,9), с =(0,1)? То же самое

Чтобы определить, верно ли данное равенство выполняется для данных множеств, давайте разберемся с каждым его членом.

Для начала, давайте вычислим \( (a \cup b) \times c \), где \( a = \{3, 5, 7\} \), \( b = \{7, 9\} \) и \( c = \{0, 1\} \).

Чтобы найти объединение множеств \( a \) и \( b \), мы должны соединить все элементы обоих множеств и удалить повторяющиеся элементы. Таким образом, \( a \cup b = \{3, 5, 7, 9\} \).

Теперь мы умножаем полученное объединение на множество \( c \). Операция умножения на множество означает, что мы применяем операцию ко всем элементам множества. В данном случае, результатом будет:
\[ (a \cup b) \times c = \{0 \times 3, 0 \times 5, 0 \times 7, 0 \times 9, 1 \times 3, 1 \times 5, 1 \times 7, 1 \times 9\} = \{0, 0, 0, 0, 3, 5, 7, 9\} \]

Теперь давайте посмотрим на \( (a \times b) \cup (b \times c) \).

Чтобы найти произведение множеств \( a \) и \( b \), мы должны взять каждый элемент из \( a \) и умножить его на каждый элемент из \( b \). Таким образом, \( a \times b = \{3 \times 7, 3 \times 9, 5 \times 7, 5 \times 9, 7 \times 7, 7 \times 9\} = \{21, 27, 35, 45, 49, 63\} \).

Аналогично, найдем произведение множеств \( b \) и \( c \): \( b \times c = \{7 \times 0, 7 \times 1, 9 \times 0, 9 \times 1\} = \{0, 7, 0, 9\} \).

Теперь выполняем объединение полученных результатов: \( (a \times b) \cup (b \times c) = \{21, 27, 35, 45, 49, 63\} \cup \{0, 7, 0, 9\} = \{0, 7, 9, 21, 27, 35, 45, 49, 63\} \).

Сравнивая два полученных множества, \( (a \cup b) \times c \) и \( (a \times b) \cup (b \times c) \), видим, что они не равны. Таким образом, равенство \( (a \cup b) \times c = (a \times b) \cup (b \times c) \) не выполняется для данных множеств \( a = \{3, 5, 7\} \), \( b = \{7, 9\} \) и \( c = \{0, 1\} \).

Аналогично, чтобы узнать, выполняется ли равенство для \( (a \setminus b) \times c = (a \times c) \setminus (b \times c) \), мы должны проделать аналогичные шаги.

Для начала, найдем разность множеств \( a \) и \( b \), что означает исключение элементов из \( b \) из множества \( a \). Таким образом, \( a \setminus b = \{3, 5\} \).

Теперь мы умножаем полученную разность на множество \( c \). То есть:
\[ (a \setminus b) \times c = \{3 \times 0, 3 \times 1, 5 \times 0, 5 \times 1\} = \{0, 3, 0, 5\} \]

Теперь найдем произведение множеств \( a \) и \( c \): \( a \times c = \{3 \times 0, 3 \times 1, 5 \times 0, 5 \times 1, 7 \times 0, 7 \times 1\} = \{0, 3, 0, 5, 0, 7\} \).

Также найдем произведение множеств \( b \) и \( c \): \( b \times c = \{7 \times 0, 7 \times 1, 9 \times 0, 9 \times 1\} = \{0, 7, 0, 9\} \).

Теперь выполним операцию разности полученных результатов: \( (a \times c) \setminus (b \times c) = \{0, 3, 0, 5, 0, 7\} \setminus \{0, 7, 0, 9\} = \{3, 5\} \).

Сравнивая два полученных множества, \( (a \setminus b) \times c \) и \( (a \times c) \setminus (b \times c) \), видим, что они равны. Таким образом, равенство \( (a \setminus b) \times c = (a \times c) \setminus (b \times c) \) выполняется для данных множеств \( a = \{3, 5, 7\} \), \( b = \{7, 9\} \) и \( c = \{0, 1\} \).

Итак, верно ли равенство \( (a \cup b) \times c = (a \times b) \cup (b \times c) \) для данных множеств? Нет, оно не выполняется.
А верно ли равенство \( (a \setminus b) \times c = (a \times c) \setminus (b \times c) \)? Да, оно выполняется.