Вариант 1. Вычислите: а) Каково значение sin 300 градусов?; б) Чему равно значение tg -2π/3?; в) Чему равно значение 2sin(π/3) - cos(π/2)? Найдите значения sin α и tg α, если известно, что cos α = -0,6, α находится между π/2 и π. Найдите выражение: а) sin(π + α) + cos(3π/2 - α); б) tg(π/2 + α) - ctg(2π - α); в) cos(2α) + 2sin(π - α). Докажите тождество: cos^2 α + tg^2 α - sin^2 α = cos^2 α. Контрольная работа №5.
Вариант 2. Вычислите: а) Каково значение cos -210 градусов?; б) Чему равно значение tg(4π/3)?; в) Чему равно значение 2sin(π/2) - tg(π/3)? Найдите значения cos α и tg α, если известно, что sin α = -1213, α находится между π и 3π/2. Найдите выражение: а) sin(3π/2 - α) - cos(π + α); б) tg(π + α) + ctg(π/2 - α); в) sin α + sin α - cos α/2; г) cos(α + 1) - sin α - cos(α + 1) + sin α. Докажите тождество: cos^2 α - sin^2 α - cos α - sin α - tg α · cos α = cos α.
Вариант 2. Вычислите: а) Каково значение cos -210 градусов?; б) Чему равно значение tg(4π/3)?; в) Чему равно значение 2sin(π/2) - tg(π/3)? Найдите значения cos α и tg α, если известно, что sin α = -1213, α находится между π и 3π/2. Найдите выражение: а) sin(3π/2 - α) - cos(π + α); б) tg(π + α) + ctg(π/2 - α); в) sin α + sin α - cos α/2; г) cos(α + 1) - sin α - cos(α + 1) + sin α. Докажите тождество: cos^2 α - sin^2 α - cos α - sin α - tg α · cos α = cos α.
Schelkunchik
известно, что sin α = -0,8, α находится между π и 3π/2. Найдите выражение: а) sin(π - α) + cos(2π + α); б) tg(π/2 - α) + ctg(3π - α); в) cos(3α) + 2sin(2π - α). Докажите тождество: tg^2 α + 1 = sec^2 α. Контрольная работа №5. Вариант 2.
Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые свойства и формулы тригонометрии. Давайте посмотрим на каждую часть задачи по порядку и найдем решения.
а) Для вычисления значения sin 300 градусов мы можем использовать периодичность синуса. Поскольку синус имеет период 2π, мы можем выразить 300 градусов как \(300^\circ = 300 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{3}\). Теперь мы можем найти значение синуса, используя этот угол: \(\sin \frac{5\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
б) Аналогично, чтобы вычислить значение tg \(-2\pi/3\), мы можем использовать периодичность тангенса. Угол \(-2\pi/3\) равен \(240^\circ\) или \(\frac{4\pi}{3}\). Используя этот угол, мы можем найти значение тангенса: \(\tan \frac{4\pi}{3} = -\sqrt{3}\).
в) Чтобы найти значение \(2\sin(\pi/3) - \cos(\pi/2)\), мы можем сначала вычислить значения синуса и косинуса, используя соответствующие углы. \(\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\cos \frac{\pi}{2} = 0\). Теперь поставим эти значения в исходное выражение: \(2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} - 0 = \sqrt{3}\).
Для следующей части задачи, где необходимо найти значения синуса и тангенса, зная косинус, мы будем использовать тригонометрическую тождество. Мы можем использовать такое тождество: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), чтобы найти значение синуса.
а) Нам дано, что \(\cos \alpha = -0,6\). Используя тождество \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), мы можем найти значение синуса:
\(\sin^2 \alpha + (-0,6)^2 = 1\)
\(\sin^2 \alpha + 0,36 = 1\)
\(\sin^2 \alpha = 0,64\)
\(\sin \alpha = \pm \sqrt{0,64} = \pm 0,8\)
Теперь мы можем также найти значение тангенса, используя соотношение \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\):
\(\tan \alpha = \frac{\pm 0,8}{-0,6} = \mp \frac{4}{3}\)
б) Также нам дано, что \(\cos \alpha = -0,8\). Используя тождество \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), мы можем найти значение синуса:
\(\sin^2 \alpha + (-0,8)^2 = 1\)
\(\sin^2 \alpha + 0,64 = 1\)
\(\sin^2 \alpha = 0,36\)
\(\sin \alpha = \pm \sqrt{0,36} = \pm 0,6\)
Теперь мы можем также найти значение тангенса, используя соотношение \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\):
\(\tan \alpha = \frac{\pm 0,6}{-0,8} = \mp \frac{3}{4}\)
в) В данном случае нам дано значение синуса \(\sin \alpha = -0,8\). Мы можем использовать тождество \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), чтобы найти значение косинуса:
\((-0,8)^2 + \cos^2 \alpha = 1\)
\(0,64 + \cos^2 \alpha = 1\)
\(\cos^2 \alpha = 0,36\)
\(\cos \alpha = \pm \sqrt{0,36} = \pm 0,6\)
Мы также можем найти значение тангенса, используя соотношение \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\):
\(\tan \alpha = \frac{-0,8}{\pm 0,6} = \mp \frac{4}{3}\)
Теперь перейдем к выражениям, которые нужно решить.
а) Для выражения \( \sin (\pi + \alpha) + \cos (3\pi/2 - \alpha)\), давайте разберем каждое слагаемое отдельно.
Сначала вычислим \(\sin (\pi + \alpha)\). Используем периодичность синуса и заметим, что \(\sin (\pi + \alpha) = -\sin \alpha\).
Теперь рассмотрим \(\cos (3\pi/2 - \alpha)\). Используем периодичность косинуса и заметим, что \(\cos (3\pi/2 - \alpha) = -\sin \alpha\).
Теперь складываем два слагаемых: \(-\sin \alpha + (-\sin \alpha) = -2\sin \alpha = -2 \cdot (-0,8) = 1,6\).
б) Для выражения \(\tg (\pi/2 + \alpha) - \ctg (2\pi - \alpha)\), давайте разберем каждое слагаемое отдельно.
Сначала вычислим \(\tg (\pi/2 + \alpha)\). Используем периодичность тангенса и заметим, что \(\tg (\pi/2 + \alpha) = -\ctg \alpha\).
Теперь рассмотрим \(\ctg (2\pi - \alpha)\). Используем периодичность котангенса и заметим, что \(\ctg (2\pi - \alpha) = \ctg \alpha\).
Теперь вычитаем второе слагаемое из первого: \(-\ctg \alpha - \ctg \alpha = -2\ctg \alpha = -2 \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{8}{3}\).
в) Для выражения \(\cos (2\alpha) + 2\sin (\pi - \alpha)\), давайте разберем каждое слагаемое отдельно.
Сначала вычислим \(\cos (2\alpha)\). Используем формулу \(\cos (2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha\) и заметим, что \(\cos^2 \alpha = 0,36\) (получено в предыдущей части задачи) и \(\sin^2 \alpha = 0,64\) (получено в первой части задачи). Теперь можем подставить значения и найти \(\cos (2\alpha) = 0,36 - 0,64 = -0,28\).
Теперь рассмотрим \(2\sin (\pi - \alpha)\). Используем периодичность синуса и заметим, что \(2\sin (\pi - \alpha) = -2\sin \alpha = -2 \cdot (-0,8) = 1,6\).
Теперь сложим два слагаемых: \(-0,28 + 1,6 = 1,32\).
Для доказательства тождества \( \cos^2 \alpha + \tg^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha\), давайте преобразуем левую часть выражения.
Пользуясь тригонометрическими соотношениями \(\tg^2 \alpha = \sec^2 \alpha - 1\) и \(\sec^2 \alpha = 1 + \tg^2 \alpha\), можем записать левую часть следующим образом:
\(\cos^2 \alpha + \tg^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha + (\sec^2 \alpha - 1) - \sin^2 \alpha\).
Теперь объединим квадраты и упростим выражение:
\(\cos^2 \alpha + \sec^2 \alpha - \sin^2 \alpha - 1 = \cos^2 \alpha + 1 + \tg^2 \alpha - \sin^2 \alpha - 1 = \cos^2 \alpha + \tg^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha\).
Таким образом, мы доказали исходное тождество.
Обращаю ваше внимание, что решения приведены для предложенного варианта задачи. В случае других вариантов пунктов, значения могут отличаться, но принцип решения будет таким же.
Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые свойства и формулы тригонометрии. Давайте посмотрим на каждую часть задачи по порядку и найдем решения.
а) Для вычисления значения sin 300 градусов мы можем использовать периодичность синуса. Поскольку синус имеет период 2π, мы можем выразить 300 градусов как \(300^\circ = 300 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{3}\). Теперь мы можем найти значение синуса, используя этот угол: \(\sin \frac{5\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\).
б) Аналогично, чтобы вычислить значение tg \(-2\pi/3\), мы можем использовать периодичность тангенса. Угол \(-2\pi/3\) равен \(240^\circ\) или \(\frac{4\pi}{3}\). Используя этот угол, мы можем найти значение тангенса: \(\tan \frac{4\pi}{3} = -\sqrt{3}\).
в) Чтобы найти значение \(2\sin(\pi/3) - \cos(\pi/2)\), мы можем сначала вычислить значения синуса и косинуса, используя соответствующие углы. \(\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\cos \frac{\pi}{2} = 0\). Теперь поставим эти значения в исходное выражение: \(2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} - 0 = \sqrt{3}\).
Для следующей части задачи, где необходимо найти значения синуса и тангенса, зная косинус, мы будем использовать тригонометрическую тождество. Мы можем использовать такое тождество: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), чтобы найти значение синуса.
а) Нам дано, что \(\cos \alpha = -0,6\). Используя тождество \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), мы можем найти значение синуса:
\(\sin^2 \alpha + (-0,6)^2 = 1\)
\(\sin^2 \alpha + 0,36 = 1\)
\(\sin^2 \alpha = 0,64\)
\(\sin \alpha = \pm \sqrt{0,64} = \pm 0,8\)
Теперь мы можем также найти значение тангенса, используя соотношение \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\):
\(\tan \alpha = \frac{\pm 0,8}{-0,6} = \mp \frac{4}{3}\)
б) Также нам дано, что \(\cos \alpha = -0,8\). Используя тождество \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), мы можем найти значение синуса:
\(\sin^2 \alpha + (-0,8)^2 = 1\)
\(\sin^2 \alpha + 0,64 = 1\)
\(\sin^2 \alpha = 0,36\)
\(\sin \alpha = \pm \sqrt{0,36} = \pm 0,6\)
Теперь мы можем также найти значение тангенса, используя соотношение \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\):
\(\tan \alpha = \frac{\pm 0,6}{-0,8} = \mp \frac{3}{4}\)
в) В данном случае нам дано значение синуса \(\sin \alpha = -0,8\). Мы можем использовать тождество \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), чтобы найти значение косинуса:
\((-0,8)^2 + \cos^2 \alpha = 1\)
\(0,64 + \cos^2 \alpha = 1\)
\(\cos^2 \alpha = 0,36\)
\(\cos \alpha = \pm \sqrt{0,36} = \pm 0,6\)
Мы также можем найти значение тангенса, используя соотношение \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\):
\(\tan \alpha = \frac{-0,8}{\pm 0,6} = \mp \frac{4}{3}\)
Теперь перейдем к выражениям, которые нужно решить.
а) Для выражения \( \sin (\pi + \alpha) + \cos (3\pi/2 - \alpha)\), давайте разберем каждое слагаемое отдельно.
Сначала вычислим \(\sin (\pi + \alpha)\). Используем периодичность синуса и заметим, что \(\sin (\pi + \alpha) = -\sin \alpha\).
Теперь рассмотрим \(\cos (3\pi/2 - \alpha)\). Используем периодичность косинуса и заметим, что \(\cos (3\pi/2 - \alpha) = -\sin \alpha\).
Теперь складываем два слагаемых: \(-\sin \alpha + (-\sin \alpha) = -2\sin \alpha = -2 \cdot (-0,8) = 1,6\).
б) Для выражения \(\tg (\pi/2 + \alpha) - \ctg (2\pi - \alpha)\), давайте разберем каждое слагаемое отдельно.
Сначала вычислим \(\tg (\pi/2 + \alpha)\). Используем периодичность тангенса и заметим, что \(\tg (\pi/2 + \alpha) = -\ctg \alpha\).
Теперь рассмотрим \(\ctg (2\pi - \alpha)\). Используем периодичность котангенса и заметим, что \(\ctg (2\pi - \alpha) = \ctg \alpha\).
Теперь вычитаем второе слагаемое из первого: \(-\ctg \alpha - \ctg \alpha = -2\ctg \alpha = -2 \cdot \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{8}{3}\).
в) Для выражения \(\cos (2\alpha) + 2\sin (\pi - \alpha)\), давайте разберем каждое слагаемое отдельно.
Сначала вычислим \(\cos (2\alpha)\). Используем формулу \(\cos (2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha\) и заметим, что \(\cos^2 \alpha = 0,36\) (получено в предыдущей части задачи) и \(\sin^2 \alpha = 0,64\) (получено в первой части задачи). Теперь можем подставить значения и найти \(\cos (2\alpha) = 0,36 - 0,64 = -0,28\).
Теперь рассмотрим \(2\sin (\pi - \alpha)\). Используем периодичность синуса и заметим, что \(2\sin (\pi - \alpha) = -2\sin \alpha = -2 \cdot (-0,8) = 1,6\).
Теперь сложим два слагаемых: \(-0,28 + 1,6 = 1,32\).
Для доказательства тождества \( \cos^2 \alpha + \tg^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha\), давайте преобразуем левую часть выражения.
Пользуясь тригонометрическими соотношениями \(\tg^2 \alpha = \sec^2 \alpha - 1\) и \(\sec^2 \alpha = 1 + \tg^2 \alpha\), можем записать левую часть следующим образом:
\(\cos^2 \alpha + \tg^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha + (\sec^2 \alpha - 1) - \sin^2 \alpha\).
Теперь объединим квадраты и упростим выражение:
\(\cos^2 \alpha + \sec^2 \alpha - \sin^2 \alpha - 1 = \cos^2 \alpha + 1 + \tg^2 \alpha - \sin^2 \alpha - 1 = \cos^2 \alpha + \tg^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha\).
Таким образом, мы доказали исходное тождество.
Обращаю ваше внимание, что решения приведены для предложенного варианта задачи. В случае других вариантов пунктов, значения могут отличаться, но принцип решения будет таким же.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
