Какое максимальное и минимальное значение функции f(x)=x^2+4/x на интервале [-4;-1]?

Хорошо, давайте посмотрим на задачу более детально. У нас дана функция $f(x)=x^2+\frac{4}{x}$ и интервал $[-4;-1]$, на котором мы хотим найти максимальное и минимальное значение функции.

Для начала, давайте найдем возможные экстремумы функции $f(x)$. Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти точки, где функция может достигать своих экстремальных значений.

Итак, вычислим производную функции $f(x)$:

$$f"(x)=2x-\frac{4}{x^2}$$

Теперь приравняем $f"(x)$ к нулю и решим полученное уравнение:

$$2x-\frac{4}{x^2}=0$$

Для решения этого уравнения переместим $\frac{4}{x^2}$ в правую часть и получим:

$$2x=\frac{4}{x^2}$$

Умножим обе части уравнения на $x^2$ и получим:

$$2x^3=4$$

Теперь разделим обе части уравнения на 2 и получим:

$$x^3=2$$

Возведем обе части уравнения в куб и получим:

$$x=\sqrt[3]{2}$$

Таким образом, уравнение $f"(x)=0$ имеет решение $x=\sqrt[3]{2}$.

Теперь найдем вторую производную функции $f(x)$ для проверки, является ли найденная точка экстремумом или нет. Вычислим производную от $f"(x)$:

$$f""(x)=2+\frac{8}{x^3}$$

Подставим значения $x=\sqrt[3]{2}$ в $f""(x)$ и получим:

$$f""(\sqrt[3]{2})=2+\frac{8}{{\sqrt[3]{2}}^3}=2+8=10$$

Значение $f""(\sqrt[3]{2})$ больше нуля, что означает, что найденная точка $x=\sqrt[3]{2}$ является точкой минимума функции $f(x)$ на интервале $[-4;-1]$.

Теперь найдем значения функции $f(x)$ на границах интервала $[-4;-1]$ и в найденной точке $x=\sqrt[3]{2}$. Подставим значения и вычислим:

$$f(-4)=(-4{)}^2+\frac{4}{-4}=16-1=15$$

$$f(-1)=(-1{)}^2+\frac{4}{-1}=1-4=-3$$

$$f(\sqrt[3]{2})=(\sqrt[3]{2}{)}^2+\frac{4}{\sqrt[3]{2}}$$

Так как значение $\sqrt[3]{2}$ не удобно вычислить в точной форме, давайте оставим его в таком виде.

Полученные значения функции $f(x)$ на границах интервала и в точке минимума:

$$f(-4)=15$$
$$f(-1)=-3$$
$$f(\sqrt[3]{2})=(\sqrt[3]{2}{)}^2+\frac{4}{\sqrt[3]{2}}$$

Итак, на интервале $[-4;-1]$ максимальное значение функции $f(x)$ равно 15, а минимальное значение $f(x)$ достигается в точке минимума и равно $-3$.

Надеюсь, этот подробный ответ поможет вам понять, как найти максимальное и минимальное значение функции на заданном интервале. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!