Какое максимальное и минимальное значение функции f(x)=x^2+4/x на интервале [-4;-1]?

Хорошо, давайте посмотрим на задачу более детально. У нас дана функция \(f(x) = x^2 + \frac{4}{x}\) и интервал \([-4;-1]\), на котором мы хотим найти максимальное и минимальное значение функции.

Для начала, давайте найдем возможные экстремумы функции \(f(x)\). Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти точки, где функция может достигать своих экстремальных значений.

Итак, вычислим производную функции \(f(x)\):

\[f"(x) = 2x - \frac{4}{x^2}\]

Теперь приравняем \(f"(x)\) к нулю и решим полученное уравнение:

\[2x - \frac{4}{x^2} = 0\]

Для решения этого уравнения переместим \(\frac{4}{x^2}\) в правую часть и получим:

\[2x = \frac{4}{x^2}\]

Умножим обе части уравнения на \(x^2\) и получим:

\[2x^3 = 4\]

Теперь разделим обе части уравнения на 2 и получим:

\[x^3 = 2\]

Возведем обе части уравнения в куб и получим:

\[x = \sqrt[3]{2}\]

Таким образом, уравнение \(f"(x) = 0\) имеет решение \(x = \sqrt[3]{2}\).

Теперь найдем вторую производную функции \(f(x)\) для проверки, является ли найденная точка экстремумом или нет. Вычислим производную от \(f"(x)\):

\[f""(x) = 2 + \frac{8}{x^3}\]

Подставим значения \(x = \sqrt[3]{2}\) в \(f""(x)\) и получим:

\[f""(\sqrt[3]{2}) = 2 + \frac{8}{\sqrt[3]{2}^3} = 2 + 8 = 10\]

Значение \(f""(\sqrt[3]{2})\) больше нуля, что означает, что найденная точка \(x = \sqrt[3]{2}\) является точкой минимума функции \(f(x)\) на интервале \([-4;-1]\).

Теперь найдем значения функции \(f(x)\) на границах интервала \([-4;-1]\) и в найденной точке \(x = \sqrt[3]{2}\). Подставим значения и вычислим:

\[f(-4) = (-4)^2 + \frac{4}{-4} = 16 - 1 = 15\]

\[f(-1) = (-1)^2 + \frac{4}{-1} = 1 - 4 = -3\]

\[f(\sqrt[3]{2}) = (\sqrt[3]{2})^2 + \frac{4}{\sqrt[3]{2}}\]

Так как значение \(\sqrt[3]{2}\) не удобно вычислить в точной форме, давайте оставим его в таком виде.

Полученные значения функции \(f(x)\) на границах интервала и в точке минимума:

\[f(-4) = 15\]
\[f(-1) = -3\]
\[f(\sqrt[3]{2}) = (\sqrt[3]{2})^2 + \frac{4}{\sqrt[3]{2}}\]

Итак, на интервале \([-4;-1]\) максимальное значение функции \(f(x)\) равно 15, а минимальное значение \(f(x)\) достигается в точке минимума и равно \(-3\).

Надеюсь, этот подробный ответ поможет вам понять, как найти максимальное и минимальное значение функции на заданном интервале. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!