Вариант 1: Доказать, что угол 1 равен углу 2. В треугольнике MNP с биссектрисой угла М, пересекающей высоту NK в точке

Задача 1: Доказать, что угол 1 равен углу 2.

Для доказательства этого факта, мы воспользуемся свойством биссектрисы угла. Биссектриса угла делит его на два равных угла.

Пусть A, B и C - вершины треугольника MNP, соответственно. Пусть MO - биссектриса угла M, а NK - высота, пересекающаяся с MO в точке O.

У нас есть равенство ОК = 9 см. Кроме того, по свойству биссектрисы, угол MON будет равен углу MOB. Также, угол NOC будет равен углу NOA.

Проведем отрезок MN, который будет пересекаться с линией NK в точке H. Расстояние ОН от точки О до прямой MN будет равно расстоянию HK, так как вертикальные углы НК и ОН являются смежными и, следовательно, равны между собой.

Таким образом, чтобы доказать равенство углов, нам нужно показать, что углы MOB и NOA равны.

Для этого мы можем воспользоваться свойством вертикальных углов. Углы MON и MOB являются вертикальными углами, поэтому они равны. Аналогично, углы MON и NOA также являются вертикальными углами и, следовательно, равны.

Таким образом, мы доказали, что угол 1 равен углу 2.

Задача 2: Построить прямоугольный треугольник по заданной гипотенузе и острому углу.

Для построения прямоугольного треугольника, у нас есть заданная гипотенуза и заданный острый угол.

Пусть AB будет гипотенуза треугольника, и пусть A будет вершиной, где заданный острый угол находится.

Продолжим отрезок AB в направлении вершины A. Пусть C будет точкой на продолжении AB, такой, что AC равно длине заданной гипотенузы.

Используя линейку, установим компас так, чтобы он был больше половины длины AC.

Установим конец компаса в точку C и построим дугу, пересекающую продолжение отрезка AB в точке D.

Теперь проведем прямую линию через точки A и D. Треугольник ABC будет прямоугольным треугольником, где угол B будет 90 градусов и гипотенуза AB задана.

Задача 3: Построить угол, равный 105°, с использованием циркуля и линейки.

Чтобы построить угол, равный 105° с использованием циркуля и линейки, выполните следующие шаги:

1. Прокладите линейку и назовите одну из ее концов точкой A.
2. Установите компас на любое расстояние, большее половины отрезка AB.
3. С одним концом компаса в точке A постройте дугу на линейке.
4. Оставив компас величиной открытой, перенесите его одним концом в точку пересечения дуги с линейкой и постройте вторую дугу.
5. Проведите прямую линию через точку A и точку пересечения двух дуг.
6. В полученном треугольнике угол, образованный точками A, центром компаса и точкой пересечения двух дуг, будет равен 105°.

Контрольная работа № 5 по теме «Прямоугольный треугольник. Построение треугольника по трем элементам».
1. Что такое биссектриса угла и как она делит угол?
2. Чему равны вертикальные углы?
3. Как построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу?
4. Как построить угол, равный 105°, с использованием циркуля и линейки?
5. Перечислите основные темы и понятия, изученные в главе IV, п.п. 34-38.

Ответы:
1. Биссектриса угла - это линия, которая делит данный угол на два равных угла.
2. Вертикальные углы равны между собой.
3. Для построения прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу, прокладываем гипотенузу, строим продолжение гипотенузы, проводим дугу больше половины гипотенузы и проводим прямую линию через точку начала гипотенузы и точку пересечения дуги с продолжением гипотенузы.
4. Для построения угла, равного 105°, используем компас и линейку. Начиная с одной точки, строим две дуги равным радиусом. Проводим прямую линию через точку начала и точку пересечения дуг.
5. Основные темы и понятия, изученные в главе IV, п.п. 34-38: прямоугольный треугольник и построение треугольника по трем элементам.