В3. У треугольной призмы все стороны равны, а высота - расстояние от вершины одного основания до противоположной

Для начала, давайте разберемся с понятием боковой поверхности треугольной призмы. Боковая поверхность представляет собой сумму площадей всех боковых граней призмы.

Дано, что у треугольной призмы все стороны равны. Обозначим длину одной стороны треугольника через \(a\). Так как у треугольника все стороны равны, то все стороны этой призмы равны \(a\).

Также, длина высоты призмы равна расстоянию от вершины одного основания до противоположной стороны другого основания. Обозначим эту высоту через \(h\). Тогда имеем \(h = 2\sqrt{7}\).

Для нахождения площади боковой поверхности треугольной призмы нам нужно найти площади боковых граней и их сложить. Так как боковая грань призмы представляет собой прямоугольный треугольник, то площадь каждой боковой грани можно найти как половину произведения длины основания (стороны треугольника) на высоту.

Площадь одной боковой грани равна \(\frac{1}{2} \cdot a \cdot h\). Так как у нас треугольная призма имеет 3 боковых грани, то общая площадь боковой поверхности будет составлять
\[S_{\text{бок}} = 3 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot a \cdot h\right).\]

Подставляем известные значения:
\[S_{\text{бок}} = 3 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot a \cdot 2\sqrt{7}\right).\]

Упрощаем выражение:
\[S_{\text{бок}} = 3a\sqrt{7}.\]

Таким образом, площадь боковой поверхности данной призмы равна \(3a\sqrt{7}\), где \(a\) - длина стороны треугольника.