В урне находятся 4 белых и 7 черных шаров. Поочередно, без возвращения, извлекают два шара. Требуется найти вероятность

Для решения данной задачи мы можем использовать комбинаторику и представить все возможные варианты извлечения двух шаров.

Общее количество возможных вариантов можно найти с помощью формулы сочетаний. Для двух шаров из урны, содержащей 11 шаров (4 белых и 7 черных), имеем:

\[ C_{11}^{2} = \frac{11!}{2!(11-2)!} = \frac{11 \cdot 10}{2 \cdot 1} = 55 \]

Итак, всего возможно 55 вариантов извлечения двух шаров.

Теперь рассмотрим каждое из требуемых событий:

а) Вероятность того, что оба ихвлеченных шара будут белыми. Мы должны выбрать 2 белых шара из 4 имеющихся. Используем формулу сочетаний:

\[ C_{4}^{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6 \]

Таким образом, существует 6 вариантов выбрать 2 белых шара из 4. Вероятность этого события равна:

\[ P(\text{оба шара белые}) = \frac{\text{количество благоприятных исходов}}{\text{общее количество возможных вариантов}} = \frac{6}{55} \]

б) Вероятность того, что оба извлеченных шара будут черными. Аналогично предыдущему случаю, мы должны выбрать 2 черных шара из 7 имеющихся:

\[ C_{7}^{2} = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21 \]

Таким образом, существует 21 вариант выбрать 2 черных шара из 7. Вероятность этого события равна:

\[ P(\text{оба шара черные}) = \frac{\text{количество благоприятных исходов}}{\text{общее количество возможных вариантов}} = \frac{21}{55} \]

в) Вероятность того, что первым будет извлечен белый шар, а затем черный. Мы должны выбрать 1 белый шар из 4 и 1 черный шар из оставшихся 7:

\[ C_{4}^{1} \cdot C_{7}^{1} = 4 \cdot 7 = 28 \]

Таким образом, существует 28 вариантов выбрать 1 белый и 1 черный шар. Вероятность этого события равна:

\[ P(\text{первый белый, второй черный}) = \frac{\text{количество благоприятных исходов}}{\text{общее количество возможных вариантов}} = \frac{28}{55} \]

Итак, ответы на задачу:
а) Вероятность того, что оба извлеченных шара будут белыми: \(\frac{6}{55}\)
б) Вероятность того, что оба извлеченных шара будут черными: \(\frac{21}{55}\)
в) Вероятность того, что первым будет извлечен белый шар, а затем черный: \(\frac{28}{55}\)