В треугольной усеченной пирамиде ABCA1B1C1 справедливо следующее: площадь нижнего основания ABC в девять раз больше

Для доказательства того, что точка N делит ребро CC1 в отношении 5/13, воспользуемся свойством равенства объемов двух многогранников, на которые разбивается пирамида.

Пусть V₁ и V₂ - объемы двух многогранников. Тогда, согласно условию задачи, V₁ = V₂.

Обозначим длину ребра CC₁ через x, а длину отрезка CN через y.

Для начала, мы можем выразить объемы V₁ и V₂ через площади оснований пирамиды, используя формулу объема пирамиды:

V₁ = 1/3 * S₁ * h₁,
V₂ = 1/3 * S₂ * h₂,

где S₁ и S₂ - площади оснований пирамиды, а h₁ и h₂ - соответствующие высоты пирамид.

Учитывая свойство равенства объемов V₁ = V₂, мы можем записать:

1/3 * S₁ * h₁ = 1/3 * S₂ * h₂.

Мы знаем, что площадь нижнего основания ABC в девять раз больше, чем площадь меньшего основания A₁B₁C₁. То есть S₁ = 9 * S₂.

Подставляя это в уравнение, получим:

1/3 * (9 * S₂) * h₁ = 1/3 * S₂ * h₂.

Теперь упростим уравнение, удалив общий множитель 1/3:

3 * 9 * S₂ * h₁ = 3 * 1 * S₂ * h₂.

Упрощая дальше, получим:

27 * S₂ * h₁ = 3 * S₂ * h₂.

Поскольку общие множители 27 и 3 соответствуют, исключим их из уравнения:

9 * S₂ * h₁ = S₂ * h₂.

Сокращаем S₂ и упрощаем уравнение:

9 * h₁ = h₂.

Теперь вернемся к отношению длин ребер CC₁ и CN:

CN = 5/13 * CC₁.

Используя выражение для отношения высот h₁ и h₂, заменим h₂ в уравнении о длинах ребер:

CN = 5/13 * CC₁,
CN = 5/13 * (9 * h₁).

Уравнение принимает вид:

CN = 5/13 * 9 * h₁,
CN = 45/13 * h₁.

Теперь рассмотрим общую длину ребра CC₁, которую мы обозначили через x. Длина ребра CC₁ представляет собой сумму длины отрезка CN и отрезка NN₁, где N₁ - проекция точки N на ребро CC₁:

CC₁ = CN + NN₁.

Используя выражение для CN, получаем:

CC₁ = 45/13 * h₁ + NN₁.

Осталось заметить, что при делении ребра CC₁ точкой N, отрезок NN₁ также делится в отношении 5/13, а значит, NN₁ = 5/13 * h₁.

Подставляем это в предыдущее уравнение:

CC₁ = 45/13 * h₁ + 5/13 * h₁,
CC₁ = 50/13 * h₁.

Таким образом, мы получили общую длину ребра CC₁: CC₁ = 50/13 * h₁.

Теперь сравним полученное выражение с изначальным отношением длин ребер CC₁ и CN:

CC₁/CN = (50/13 * h₁) / (45/13 * h₁) = (50/13) / (45/13) = 50/45 = 5/9.

Мы видим, что отношение длин ребер равно 5/9, что не совпадает с исходным отношением 5/13.

Таким образом, доказано, что точка N не делит ребро CC₁ в отношении 5/13.