В треугольнике АВС, у которого угол С равен 90°, тангенс угла A равен 4/3. Найдите синус угла В. Ответ запишите

Для начала, давайте вспомним некоторые основные свойства треугольников и тригонометрических функций.

В прямоугольном треугольнике, у которого один из углов равен 90°, мы можем использовать теорему Пифагора, которая гласит: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В данной задаче, гипотенузой является сторона АС.

Теперь, давайте рассмотрим внимательнее угол A. Мы знаем, что тангенс угла A определяется как отношение противоположной стороны к прилежащей стороне. В данной задаче, противоположная сторона угла A - это сторона АВ, а прилежащая сторона - это сторона АС. Таким образом, тангенс угла A равен отношению стороны АВ к стороне АС.

Теперь, когда у нас есть отношение сторон АВ и АС, давайте найдем эти стороны.

Мы можем представить синус угла В как отношение противоположной стороны к гипотенузе. В данной задаче, синус угла В равен отношению стороны АВ к стороне АС.

Воспользуемся известными свойствами тригонометрических функций. Мы знаем, что синус угла В и косинус угла В составляют полную тройку с тангенсом угла А. Таким образом, мы можем использовать соотношение между функциями:

\[\sin^2 B + \cos^2 B = 1\]

Мы также можем использовать известную формулу для нахождения косинуса угла:

\[\cos B = \frac{{\text{прилежащая сторона}}}{{\text{гипотенуза}}} = \frac{{AB}}{{AC}}\]

Теперь мы можем использовать найденные значения для тангенса угла А и косинуса угла В, чтобы найти синус угла В.

Давайте перейдем к решению задачи.

У нас дано, что тангенс угла А равен 4/3. Значит,

\[\tan A = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{4}{3}\]

Теперь найдем косинус угла В:

\[\cos B = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{4}{3}\]

Теперь воспользуемся формулой для нахождения синуса угла В:

\[\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B}\]

\[\sin B = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{3}\right)^2}\]

\[\sin B = \sqrt{1 - \frac{16}{9}}\]

\[\sin B = \sqrt{\frac{9 - 16}{9}}\]

\[\sin B = \sqrt{\frac{-7}{9}}\]

Так как мы ищем синус угла В в десятичной дроби, а не в виде корня, мы можем сократить эту дробь:

\[\sin B \approx -0.745\]

Ответ: \(\sin B \approx -0.745\) (округляя до трех десятичных знаков)