Какой тангенс угла образует плоскость, проведенная через вершины А и В призмы АВСDEFА1В1С1D1E1F1 и точку Р, которая

Для начала нам нужно разобраться в том, какая плоскость задана в условии задачи. Из условия мы знаем, что дана плоскость, проходящая через вершины А и В призмы АВСDEFА1В1С1D1E1F1, а также точка Р, которая делит ребро DD1 в отношении 2:1 с плоскостью основания.

Пусть плоскость основания призмы задана уравнением \(Ax + By + Cz + D = 0\), где A, B и C - коэффициенты плоскости основания, а D - свободный член.

Так как плоскость проходит через вершины А и В, мы можем найти уравнение этой плоскости с помощью точек А и В. Для этого мы можем воспользоваться формулой для нахождения уравнения плоскости, проходящей через три точки.

Используя формулу, уравнение плоскости, проходящей через точки А, В и Р, будет иметь вид:

\[
\begin{vmatrix}
x - x_A & y - y_A & z - z_A \\
x_B - x_A & y_B - y_A & z_B - z_A \\
x_R - x_A & y_R - y_A & z_R - z_A \\
\end{vmatrix} = 0
\]

где (x, y, z) - координаты произвольной точки на плоскости, а (x_A, y_A, z_A), (x_B, y_B, z_B) и (x_R, y_R, z_R) - координаты вершин А, В и Р соответственно.

Теперь, чтобы найти угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через вершины А и В, нам нужно найти угол между нормалями этих плоскостей.

Нормальный вектор к плоскости основания будет иметь координаты (A, B, C), а нормальный вектор для плоскости, проходящей через вершины А и В, будет равен произведению нормального вектора для этой плоскости на коэффициент пропорциональности, равный 1/3.

Таким образом, нормальный вектор для плоскости, проходящей через вершины А и В, будет иметь координаты (1/3 * A, 1/3 * B, 1/3 * C).

Теперь мы можем найти косинус угла между этими векторами, используя формулу скалярного произведения векторов:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\text{{скалярное произведение векторов}}}}{{\text{{длины векторов}}}}
\]

где скалярное произведение векторов равно (A * (1/3 * A) + B * (1/3 * B) + C * (1/3 * C)), а длины векторов равны \(\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}\) и \(\sqrt{(1/3 * A)^2 + (1/3 * B)^2 + (1/3 * C)^2}\) соответственно.

Таким образом, получив значение косинуса угла, мы можем найти тангенс угла с помощью формулы:

\[
\tan(\theta) = \frac{{\sin(\theta)}}{{\cos(\theta)}}
\]

где \(\sin(\theta)\) можно найти как \(\sqrt{1 - \cos^2(\theta)}\).

Итак, решив эту длинную последовательность действий, мы получим ответ на задачу: тангенс угла, образованного плоскостью, проведенной через вершины А и В призмы АВСDEFА1В1С1D1E1F1, и плоскостью основания будет равен \(\frac{{\sin(\theta)}}{{\cos(\theta)}}\), где \(\theta\) - угол между нормалями этих плоскостей, найденный с помощью описанных выше шагов. Значение тангенса угла может быть вычислено с помощью формул, описанных выше.