Какие площади имеют закрашенные фигуры на рис.5, который показывает правильный треугольник, квадрат и правильный

Хорошо, давайте решим эту задачу. На рисунке 5 у нас изображены правильный треугольник, квадрат и правильный шестиугольник со стороной a.

Давайте начнем с треугольника. Правильный треугольник представляет собой фигуру, состоящую из трех равносторонних треугольников. Чтобы найти площадь одного из этих треугольников, нам понадобится знать его высоту и основание.

Высота равностороннего треугольника - это отрезок, проведенный из вершины до середины противоположной стороны. В данном случае, так как у треугольника нет прямых углов, прямое подобие по треугольникам не выполняется.

Основание равностороннего треугольника - это одна из его сторон. В данном случае, длина основания равна стороне a.

Теперь мы можем использовать формулу для площади треугольника:
\[S_{\text{треугольник}} = \frac{{\text{основание} \times \text{высота}}}{2}\]

Так как треугольник в нашем случае правильный, его высота равна \(\frac{{\sqrt{3} \times a}}{2}\). Подставляем значения в формулу:
\[S_{\text{треугольник}} = \frac{{a \times \frac{{\sqrt{3} \times a}}{2}}}{2}\]

Упрощаем выражение:
\[S_{\text{треугольник}} = \frac{{\sqrt{3} \times a^2}}{4}\]

Теперь перейдем к квадрату. Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны. В данном случае, это \(a \times a\), то есть \(a^2\).

Наконец, перейдем к шестиугольнику. Правильный шестиугольник можно разделить на шесть равносторонних треугольников. Высота каждого из этих треугольников равна радиусу сектора, который в свою очередь равен половине длины стороны многоугольника. То есть, высота шестиугольника равна \(\frac{a}{2}\).

Основание равностороннего треугольника, образующего шестиугольник, равно длине его стороны. В данном случае, это \(a\).

Площадь одного треугольника из шести будет:
\[S_{\text{треугольник}} = \frac{{a \times \frac{a}{2}}}{2}\]
\[S_{\text{треугольник}} = \frac{{a^2}}{4}\]

Всего в шестиугольнике шесть таких треугольников, поэтому площадь шестиугольника:
\[S_{\text{шестиугольник}} = 6 \times \frac{{a^2}}{4}\]
\[S_{\text{шестиугольник}} = \frac{{3a^2}}{2}\]

Итак, площади закрашенных фигур на рисунке 5 равны:
- Площадь треугольника: \(\frac{{\sqrt{3} \times a^2}}{4}\)
- Площадь квадрата: \(a^2\)
- Площадь шестиугольника: \(\frac{{3a^2}}{2}\)

Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.