В треугольнике ABC с известными сторонами AB = 5, BC = 25, AC = 24, BN - биссектриса треугольника. Прямая, проходящая

чёрта AM, т.е. MC = NC.

Для доказательства этого факта воспользуемся свойствами биссектрисы треугольника и теоремой Талеса.

1. Предположим, что BN делит угол C пополам. Тогда у нас справедлива теорема о биссектрисе, которая гласит, что отрезок BN делит сторону AC пропорционально отношению других двух сторон треугольника. А именно, \(\frac{AN}{NC} = \frac{AB}{BC}\).

2. Пользуясь заданными значениями сторон треугольника (AB = 5, BC = 25, AC = 24), подставим их в формулу из предыдущего пункта:
\(\frac{AN}{NC} = \frac{5}{25}\).

3. Упростим это выражение:
\(\frac{AN}{NC} = \frac{1}{5}\).

4. Теперь обратимся к теореме Талеса, которая утверждает, что если через вершину треугольника провести прямую, перпендикулярную биссектрисе угла и пересекающую противоположную сторону, то отношение длин отрезков, на которые пересекающая прямая делит сторону, будет равно отношению длин этой стороны к другой стороне треугольника. А именно, \(\frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC}\).

5. Подставим известные значения AB и BC в формулу:
\(\frac{AM}{MC} = \frac{5}{25}\).

6. Упростим:
\(\frac{AM}{MC} = \frac{1}{5}\).

Мы видим, что выражения для \(\frac{AN}{NC}\) и \(\frac{AM}{MC}\) равны. Это означает, что AN = AM и NC = MC. Таким образом, биссектриса угла C действительно делит прямую AM пополам.

Таким образом, мы доказали, что биссектриса угла C действительно делит пополам отрезок AM, т.е. MC = NC.

Примечание: В данном доказательстве использовались свойства биссектрисы треугольника и теорема Талеса. Это позволило нам прийти к заключению о равенстве отрезков MC и NC.