В треугольнике ABC прямой угол находится в точке C, угол A равен 60°, а длина стороны AB равна 9 дм. Найдите длины

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

1. Из условия задачи известно, что угол A равен 60° и сторона AB равна 9 дм. Обозначим угол B как β и сторону BC как b.

2. В прямоугольном треугольнике ABC, сумма всех углов равна 180°. Так как угол A равен 60° и угол C прямой, то угол B будет равен 180° - 90° - 60° = 30°.

3. Теперь мы можем использовать тригонометрические отношения, чтобы найти длины остальных сторон треугольника. Из прямоугольного треугольника ABC, мы можем использовать тангенс угла B: \(\tan(\beta) = \frac{BC}{AB}\).

4. Подставляем известные значения в формулу: \(\tan(30°) = \frac{b}{9\text{ дм}}\). Значение тангенса угла 30° равно \(\frac{1}{\sqrt{3}}\).

5. Решаем уравнение: \(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{b}{9\text{ дм}}\). Умножаем обе стороны на 9 дм: \(b = \frac{9\text{ дм}}{\sqrt{3}}\).

6. Теперь, чтобы найти длину стороны AC, мы можем использовать теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ABC: \(AC^2 = AB^2 + BC^2\).

7. Подставляем известные значения: \(AC^2 = (9\text{ дм})^2 + \left(\frac{9\text{ дм}}{\sqrt{3}}\right)^2\).

8. Выполняем вычисления: \(AC^2 = 81\text{ дм}^2 + \frac{81\text{ дм}^2}{3}\).

9. Упрощаем выражение: \(AC^2 = 81\text{ дм}^2 + 27\text{ дм}^2\).

10. Складываем числа: \(AC^2 = 108\text{ дм}^2\).

11. Чтобы найти длину стороны AC, извлекаем квадратный корень: \(AC = \sqrt{108\text{ дм}^2}\).

12. Упрощаем корень: \(AC = 6\sqrt{3}\text{ дм}\).

13. Теперь перейдем к вычислению радиуса R окружности, описанной вокруг треугольника ABC. Радиус описанной окружности в прямоугольном треугольнике можно найти по формуле: \(R = \frac{AC}{2}\).

14. Подставляем значение AC: \(R = \frac{6\sqrt{3}\text{ дм}}{2}\).

15. Упрощаем выражение, деля числитель на знаменатель: \(R = 3\sqrt{3}\text{ дм}\).

Таким образом, длина стороны BC равна \(\frac{9\text{ дм}}{\sqrt{3}}\), длина стороны AC равна \(6\sqrt{3}\text{ дм}\), а радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC, равен \(3\sqrt{3}\text{ дм}\).