В треугольнике ABC, где угол A равен 60°, проведена биссектриса AD. Радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Чтобы найти квадрат длины отрезка OM, нам нужно сначала найти точки M и O. Давайте разберемся.

Поскольку угол A равен 60°, треугольник ABC является равносторонним. Таким образом, AB = BC = AC = 1,5.

Теперь рассмотрим треугольник ADC. Мы знаем, что его описанная окружность имеет радиус 3–√/3 и центр O.

Во-первых, найдем площадь треугольника ADC, используя формулу для радиуса окружности, вписанной в треугольник. Площадь такого треугольника можно найти с использованием формулы:

\[S = r \cdot p\]

где S - площадь треугольника, r - радиус вписанной окружности, p - полупериметр треугольника.

Поскольку треугольник ADC равносторонний, его полупериметр равен:

\[p = \frac{AD + CD + AC}{2} = \frac{AD + AD + AC}{2}\]

Поскольку AD - биссектриса треугольника ABC, она делит угол A пополам и создает два равных угла. Это означает, что у треугольника ADC угол ADC также равен 60°. Таким образом, треугольник ADC также является равносторонним.

Зная, что AC = 1,5, мы можем выразить AD с использованием теоремы косинусов:

\[AD = \frac{AC}{\cos(\frac{60°}{2})} = \frac{AC}{\cos(30°)}\]

\[\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[AD = \frac{1,5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\]

Теперь найдем площадь треугольника ADC:

\[S = r \cdot p = \left(3-\sqrt{3}\right) \cdot \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3} - 3\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\]

Теперь, зная площадь треугольника ADC, мы можем найти его высоту, отрезок DM. Высота треугольника связана со стороной и площадью следующим образом:

\[S = \frac{1}{2} \cdot DM \cdot AC\]

\[3\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot DM \cdot 1,5\]

\[DM = \frac{2 \cdot 3\sqrt{3}}{1,5} = 2\sqrt{3}\]

Теперь, чтобы найти отрезок OM, мы должны рассмотреть треугольник BOM. Мы знаем, что BO является радиусом описанной окружности треугольника ADC, поэтому BO = 3 - \sqrt{3}.

Зная, что отрезки AD и BO пересекаются в точке M, мы можем применить подобие треугольников ADC и BOM:

\[\frac{BO}{AD} = \frac{OM}{DM}\]

\[\frac{3 - \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{OM}{2\sqrt{3}}\]

Теперь перенесем OM на одну сторону уравнения:

\[OM = \frac{(3 - \sqrt{3}) \cdot 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2(3 - \sqrt{3}) = 6 - 2\sqrt{3}\]

Наконец, чтобы найти квадрат длины отрезка OM, возводим его в квадрат:

\(OM^2 = (6 - 2\sqrt{3})^2 = 36 - 24\sqrt{3} + 12 = 48 - 24\sqrt{3}\)

Таким образом, квадрат длины отрезка OM равен 48 - 24\sqrt{3}.

Ответ: OM^2 = 48 - 24\sqrt{3}