В треугольнике ABC, где ∠A+∠B=90° и sinB=36–√10, определите cos2B

Хорошо, давайте решим эту задачу вместе.

Дано: В треугольнике ABC, где \(\angle A + \angle B = 90^\circ\) и \(\sin B = 36 - \sqrt{10}\).

Мы хотим найти значение \(\cos^2 B\).

Для начала, давайте воспользуемся тригонометрическими соотношениями для прямоугольного треугольника.

В прямоугольном треугольнике со сторонами a, b и гипотенузой c, мы имеем следующие соотношения:
\(\sin \theta = \frac{a}{c}\), \(\cos \theta = \frac{b}{c}\), \(\tan \theta = \frac{a}{b}\).

Так как \(\angle A + \angle B = 90^\circ\), то стороны треугольника можно обозначить следующим образом:
Противоположная сторона к углу A обозначается как a, противоположная сторона к углу B обозначается как b, и гипотенуза обозначается как c.

Исходя из этого, мы можем записать следующее: \(\angle A = \frac{a}{c}\) и \(\angle B = \frac{b}{c}\).

Теперь используем информацию, данную в задаче: \(\sin B = 36 - \sqrt{10}\).

Мы знаем, что \(\sin B = \frac{b}{c}\), поэтому мы можем записать:
\(\frac{b}{c} = 36 - \sqrt{10}\).

Теперь нам нужно найти значение \(\cos^2 B\).

Используем тригонометрическое соотношение \(\cos^2 B = 1 - \sin^2 B\).

Подставим значение \(\sin B = 36 - \sqrt{10}\) в это соотношение:

\(\cos^2 B = 1 - (36 - \sqrt{10})^2\).

Теперь выполним вычисления:

\(\cos^2 B = 1 - (36 - \sqrt{10})^2\)

\(\cos^2 B = 1 - (1296 - 72\sqrt{10} + 10)\)

\(\cos^2 B = 1 - 1306 + 72\sqrt{10}\)

\(\cos^2 B = -1305 + 72\sqrt{10}\)

Таким образом, мы получили значение \(\cos^2 B = -1305 + 72\sqrt{10}\).

Это ответ на задачу. Если есть еще вопросы, пожалуйста, спросите.