Какова площадь полной поверхности конуса, у которого осевое сечение представляет собой треугольник с площадью 16√3

Чтобы найти площадь полной поверхности конуса, нам необходимо учесть поверхность бокового конуса и основание. Давайте разобьем задачу на две части и найдем площади каждой из них.

1. Площадь боковой поверхности конуса:
Площадь боковой поверхности конуса можно найти по формуле: $S_{bp}=\pi \cdot r\cdot l$, где $r$ - радиус основания конуса, $l$ - образующая конуса (расстояние от вершины до точки на периметре основания).

Учитывая, что осевое сечение представляет собой треугольник, из условия задачи мы знаем, что его площадь равна $16\sqrt{3}$. Чтобы найти образующую, нам нужно найти высоту треугольника.

Так как у треугольника один угол равен 120 градусам, мы можем воспользоваться тригонометрией. Данное осевое сечение можно разделить на два равносторонних треугольника, так как угол между сторонами осевого сечения и основанием равен 120 градусам. Значит, все углы внутри треугольников равны 60 градусам.

Теперь найдем высоту треугольника по формуле: $h=\sqrt{3}\cdot a/2$, где $a$ - длина стороны треугольника.

Так как треугольник равносторонний, все стороны равны друг другу. Поэтому $a$, длина каждой стороны, можно найти по формуле: $a=\sqrt{16\sqrt{3}\cdot 3}=4\sqrt{3}$.

Теперь, зная высоту треугольника, можем найти образующую: $l=h=\sqrt{3}\cdot a/2=2\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}/2=12$.

Осталось найти радиус основания конуса для вычисления площади боковой поверхности. Поскольку основание конуса представляет собой равносторонний треугольник с длиной стороны $a=4\sqrt{3}$, радиус $r$ можно найти по формуле: $r=a/\sqrt{3}=4\sqrt{3}/\sqrt{3}=4$.

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности конуса:
$S_{bp}=\pi \cdot r\cdot l=\pi \cdot 4\cdot 12=48\pi$.

2. Площадь основания конуса:
Площадь равностороннего треугольника можно выразить через его сторону, используя формулу: $S=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot a^2$, где $a$ - длина стороны треугольника.

Мы уже вычислили длину стороны равностороннего треугольника ранее в задаче: $a=4\sqrt{3}$. Подставим эту величину в формулу:
$S=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot (4\sqrt{3}{)}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 48=12\sqrt{3}$.

Теперь мы можем найти площадь полной поверхности конуса, сложив площади боковой поверхности и основания:
$S_{\text{полн. пов.}}=S_{bp}+S=48\pi +12\sqrt{3}$.

Таким образом, площадь полной поверхности данного конуса равна $48\pi +12\sqrt{3}$.