Какова площадь полной поверхности конуса, у которого осевое сечение представляет собой треугольник с площадью 16√3

Чтобы найти площадь полной поверхности конуса, нам необходимо учесть поверхность бокового конуса и основание. Давайте разобьем задачу на две части и найдем площади каждой из них.

1. Площадь боковой поверхности конуса:
Площадь боковой поверхности конуса можно найти по формуле: \( S_{bp} = \pi \cdot r \cdot l \), где \( r \) - радиус основания конуса, \( l \) - образующая конуса (расстояние от вершины до точки на периметре основания).

Учитывая, что осевое сечение представляет собой треугольник, из условия задачи мы знаем, что его площадь равна \( 16\sqrt{3} \). Чтобы найти образующую, нам нужно найти высоту треугольника.

Так как у треугольника один угол равен 120 градусам, мы можем воспользоваться тригонометрией. Данное осевое сечение можно разделить на два равносторонних треугольника, так как угол между сторонами осевого сечения и основанием равен 120 градусам. Значит, все углы внутри треугольников равны 60 градусам.

Теперь найдем высоту треугольника по формуле: \( h = \sqrt{3} \cdot a / 2 \), где \( a \) - длина стороны треугольника.

Так как треугольник равносторонний, все стороны равны друг другу. Поэтому \( a \), длина каждой стороны, можно найти по формуле: \( a = \sqrt{16\sqrt{3} \cdot 3} = 4\sqrt{3} \).

Теперь, зная высоту треугольника, можем найти образующую: \( l = h = \sqrt{3} \cdot a / 2 = 2\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} / 2 = 12 \).

Осталось найти радиус основания конуса для вычисления площади боковой поверхности. Поскольку основание конуса представляет собой равносторонний треугольник с длиной стороны \( a = 4\sqrt{3} \), радиус \( r \) можно найти по формуле: \( r = a / \sqrt{3} = 4\sqrt{3} / \sqrt{3} = 4 \).

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности конуса:
\( S_{bp} = \pi \cdot r \cdot l = \pi \cdot 4 \cdot 12 = 48\pi \).

2. Площадь основания конуса:
Площадь равностороннего треугольника можно выразить через его сторону, используя формулу: \( S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 \), где \( a \) - длина стороны треугольника.

Мы уже вычислили длину стороны равностороннего треугольника ранее в задаче: \( a = 4\sqrt{3} \). Подставим эту величину в формулу:
\( S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (4\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 48 = 12\sqrt{3} \).

Теперь мы можем найти площадь полной поверхности конуса, сложив площади боковой поверхности и основания:
\( S_{\text{полн. пов.}} = S_{bp} + S = 48\pi + 12\sqrt{3} \).

Таким образом, площадь полной поверхности данного конуса равна \( 48\pi + 12\sqrt{3} \).