В таблице даны координаты точек и ; о – начало координат. Нам нужно определить: 1) скалярное произведение если

Для решения данной задачи нам потребуется использовать основные понятия линейной алгебры, такие как скалярное произведение векторов и коллинеарность. Давайте разберем каждую часть задачи по очереди.

1) Чтобы найти скалярное произведение векторов \(\vec{m_1}\) и \(\vec{m_2}\), мы можем использовать следующую формулу:

\(\vec{m_1} \cdot \vec{m_2} = m_{1x} \cdot m_{2x} + m_{1y} \cdot m_{2y} + m_{1z} \cdot m_{2z}\),

где \(m_{1x}\), \(m_{1y}\) и \(m_{1z}\) - координаты вектора \(\vec{m_1}\), а \(m_{2x}\), \(m_{2y}\) и \(m_{2z}\) - координаты вектора \(\vec{m_2}\).

В нашем случае:

\(\vec{m_1} = (1, 2, 0)\) и \(\vec{m_2} = (0, -3, 1)\).

Подставим значения координат в формулу:

\(\vec{m_1} \cdot \vec{m_2} = (1 \cdot 0) + (2 \cdot -3) + (0 \cdot 1) = 0 + (-6) + 0 = -6\).

Таким образом, скалярное произведение данных векторов равно -6.

2) Чтобы найти значение параметра \(\lambda\), при котором векторы \(\vec{m_1}\) и \(\vec{m_2}\) будут ортогональны, нам необходимо приравнять их скалярное произведение к нулю и решить уравнение.

Исходя из первого пункта, у нас уже есть значение скалярного произведения -6. Подставим его в уравнение и решим:

\(-6 = (1 \cdot 0) + (2 \cdot -3) + (0 \cdot 1) = -6\).

Таким образом, при \(\lambda = -3\) векторы \(\vec{m_1}\) и \(\vec{m_2}\) являются ортогональными.

3) Чтобы найти значение параметра \(\lambda\), при котором векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{c} = (5, 2\lambda, -\lambda)\) будут коллинеарными, необходимо проверить, можно ли представить вектор \(\vec{c}\) в виде произведения числа и вектора \(\vec{a}\). Если это возможно, тогда векторы будут коллинеарными.

Мы можем сказать, что векторы коллинеарны, если соответствующие координаты пропорциональны.

Таким образом, если \(\frac{c_{x}}{a_{x}} = \frac{c_{y}}{a_{y}} = \frac{c_{z}}{a_{z}}\), где \(c_{x}\), \(c_{y}\), \(c_{z}\) - координаты вектора \(\vec{c}\), а \(a_{x}\), \(a_{y}\), \(a_{z}\) - координаты вектора \(\vec{a}\), то векторы будут коллинеарными.

Применяя это к нашей задаче, мы можем записать:

\(\frac{5}{1} = \frac{2\lambda}{2} = \frac{-\lambda}{0}\).

Очевидно, что \(\frac{-\lambda}{0}\) неопределено, поэтому концентрируемся на первых двух значениях:

\(\frac{5}{1} = \frac{2\lambda}{2}\).

Упрощая это уравнение, получаем:

\(\frac{5}{1} = \frac{2\lambda}{2} \Rightarrow 5 = \lambda\).

Таким образом, при \(\lambda = 5\) векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\) являются коллинеарными.

В итоге, для данной задачи получены следующие ответы:

1) Скалярное произведение векторов \(\vec{m_1}\) и \(\vec{m_2}\) равно -6.

2) Векторы \(\vec{m_1}\) и \(\vec{m_2}\) являются ортогональными при \(\lambda = -3\).

3) Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\) являются коллинеарными при \(\lambda = 5\).