Какое максимальное значение у функции y=18x-17sinx+2 на интервале (-п 2;0)?

Чтобы найти максимальное значение функции \(y = 18x - 17\sin(x) + 2\) на интервале \(\left(-\frac{\pi}{2}; 0\right)\), мы должны найти значение \(x\), которое дает наибольшее значение \(y\). Давайте разобьем эту задачу на несколько шагов.

Шаг 1: Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\).
Пусть символ \(\frac{{dy}}{{dx}}\) обозначает производную функции \(y\) по переменной \(x\). Тогда производная \(y\) равна:
\[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}}(18x - 17\sin(x) + 2) = 18 - 17\cos(x)\]

Шаг 2: Решим уравнение \(\frac{{dy}}{{dx}} = 0\) для определения критических точек функции \(y\).
Установив \(\frac{{dy}}{{dx}}\) равным нулю, мы можем найти значения \(x\), где производная равна нулю и функция может иметь экстремум.
\[18 - 17\cos(x) = 0\]
\[17\cos(x) = 18\]
\[\cos(x) = \frac{{18}}{{17}}\]
\[x = \arccos\left(\frac{{18}}{{17}}\right)\]

Шаг 3: Проверим, являются ли найденные значения \(x\) на самом деле максимумами или минимумами.
Для этого вычислим вторую производную и проверим, положительна она или отрицательна в окрестности каждой критической точки. Если вторая производная положительна, то соответствующая точка будет минимумом, и если вторая производная отрицательна, то это будет максимум.

Производная второго порядка \(\frac{{d^2y}}{{dx^2}}\) равна:
\[\frac{{d^2y}}{{dx^2}} = \frac{{d}}{{dx}}(18 - 17\cos(x)) = 17\sin(x)\]

Теперь мы можем вычислить вторую производную в критической точке \(x = \arccos\left(\frac{{18}}{{17}}\right)\):
\[\frac{{d^2y}}{{dx^2}}\bigg|_{x = \arccos\left(\frac{{18}}{{17}}\right)} = 17\sin(\arccos\left(\frac{{18}}{{17}}\right))\]

Шаг 4: Итак, у нас есть критическая точка \(x = \arccos\left(\frac{{18}}{{17}}\right)\), и мы найдем максимум или минимум, определив знак производной второго порядка:
\[\frac{{d^2y}}{{dx^2}}\bigg|_{x = \arccos\left(\frac{{18}}{{17}}\right)} = 17\sin(\arccos\left(\frac{{18}}{{17}}\right))\]

Если \(\frac{{d^2y}}{{dx^2}}\bigg|_{x = \arccos\left(\frac{{18}}{{17}}\right)} > 0\), то у нас есть минимум. Если \(\frac{{d^2y}}{{dx^2}}\bigg|_{x = \arccos\left(\frac{{18}}{{17}}\right)} < 0\), то у нас есть максимум.

Чтобы вычислить значение \(\frac{{d^2y}}{{dx^2}}\bigg|_{x = \arccos\left(\frac{{18}}{{17}}\right)}\), нам понадобится вычислить значение \(\sin(\arccos\left(\frac{{18}}{{17}}\right))\).

Для вычисления \(\sin(\arccos\left(\frac{{18}}{{17}}\right))\) мы можем использовать следующий тригонометрический тождество:
\[\sin(\arccos(x)) = \sqrt{1 - x^2}\]

Подставим \(x = \frac{{18}}{{17}}\):
\[\sin(\arccos\left(\frac{{18}}{{17}}\right)) = \sqrt{1 - \left(\frac{{18}}{{17}}\right)^2}\]

Теперь мы можем вычислить вторую производную в критической точке \(x = \arccos\left(\frac{{18}}{{17}}\right)\) и определить, есть ли максимум или минимум у функции \(y = 18x - 17\sin(x) + 2\) на интервале \(\left(-\frac{\pi}{2}; 0\right)\).