Какое максимальное значение у функции y=18x-17sinx+2 на интервале (-п 2;0)?

Чтобы найти максимальное значение функции $y=18x-17\sin (x)+2$ на интервале $(-\frac{\pi }{2};0)$, мы должны найти значение $x$, которое дает наибольшее значение $y$. Давайте разобьем эту задачу на несколько шагов.

Шаг 1: Найдем производную функции $y$ по переменной $x$.
Пусть символ $\frac{dy}{dx}$ обозначает производную функции $y$ по переменной $x$. Тогда производная $y$ равна:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(18x-17\sin (x)+2)=18-17\cos (x)$$

Шаг 2: Решим уравнение $\frac{dy}{dx}=0$ для определения критических точек функции $y$.
Установив $\frac{dy}{dx}$ равным нулю, мы можем найти значения $x$, где производная равна нулю и функция может иметь экстремум.
$$18-17\cos (x)=0$$
$$17\cos (x)=18$$
$$\cos (x)=\frac{18}{17}$$
$$x=\arccos \left(\frac{18}{17}\right)$$

Шаг 3: Проверим, являются ли найденные значения $x$ на самом деле максимумами или минимумами.
Для этого вычислим вторую производную и проверим, положительна она или отрицательна в окрестности каждой критической точки. Если вторая производная положительна, то соответствующая точка будет минимумом, и если вторая производная отрицательна, то это будет максимум.

Производная второго порядка $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ равна:
$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d}{dx}(18-17\cos (x))=17\sin (x)$$

Теперь мы можем вычислить вторую производную в критической точке $x=\arccos \left(\frac{18}{17}\right)$:
$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}{|}_{x=\arccos \left(\frac{18}{17}\right)}=17\sin (\arccos \left(\frac{18}{17}\right))$$

Шаг 4: Итак, у нас есть критическая точка $x=\arccos \left(\frac{18}{17}\right)$, и мы найдем максимум или минимум, определив знак производной второго порядка:
$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}{|}_{x=\arccos \left(\frac{18}{17}\right)}=17\sin (\arccos \left(\frac{18}{17}\right))$$

Если $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}{|}_{x=\arccos \left(\frac{18}{17}\right)}>0$, то у нас есть минимум. Если $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}{|}_{x=\arccos \left(\frac{18}{17}\right)}<0$, то у нас есть максимум.

Чтобы вычислить значение $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}{|}_{x=\arccos \left(\frac{18}{17}\right)}$, нам понадобится вычислить значение $\sin (\arccos \left(\frac{18}{17}\right))$.

Для вычисления $\sin (\arccos \left(\frac{18}{17}\right))$ мы можем использовать следующий тригонометрический тождество:
$$\sin (\arccos (x))=\sqrt{1-x^2}$$

Подставим $x=\frac{18}{17}$:
$$\sin (\arccos \left(\frac{18}{17}\right))=\sqrt{1-{\left(\frac{18}{17}\right)}^2}$$

Теперь мы можем вычислить вторую производную в критической точке $x=\arccos \left(\frac{18}{17}\right)$ и определить, есть ли максимум или минимум у функции $y=18x-17\sin (x)+2$ на интервале $(-\frac{\pi }{2};0)$.